Considere o grupo G=G L2(R) e o subconjunto H=(ccc & 0 0 & c) ; c in R^*.
(a) Mostre que H <= G.

Passo 1

Vamos resolver a questão que pede para mostrar que é um subgrupo de . Aqui, estamos trabalhando com teoria de grupos, especificamente analisando subgrupos dentro do grupo das matrizes invertíveis de ordem 2 sobre os números reais. Para resolver isso, vamos precisar verificar se satisfaz os critérios necessários para ser considerado um subgrupo de .

Passo 2

Primeiro, precisamos verificar se c & 0 0 & c não está vazio, ou seja, se existe pelo menos um elemento em 1 & 0 0 & 1 . Observando a definição de , vemos que ele contém matrizes da forma:
onde é um número real diferente de zero ( ). Se escolhermos, por exemplo, , temos a matriz identidade:
que claramente está em . Portanto, não está vazio.

Passo 3

Em seguida, precisamos verificar se c & 0 0 & c é fechado sob a operação de multiplicação de matrizes. Ou seja, se pegarmos duas matrizes quaisquer de d & 0 0 & d e multiplicarmos elas, o resultado também deve estar em A cdot B = c cdot d & 0 0 & c cdot d .
Seja e duas matrizes em , onde . Ao multiplicarmos por , temos:
Como também pertence a (produto de dois números reais não nulos), o resultado está em . Portanto, é fechado sob multiplicação.

Passo 4

Finalmente, precisamos verificar se c & 0 0 & c é fechado sob a operação de inverso. Isso significa que, para qualquer matriz A^-1 = 1c & 0 0 & 1c em , o inverso de também deve estar em .
Consideremos em , onde . O inverso de é:
Como também pertence a , temos que está em . Assim, é fechado sob inversos.

Resposta

Como não está vazio, é fechado sob multiplicação e sob inversos, concluímos que é um subgrupo de . Portanto, .

Exercícios relacionados

Determine todas as classes laterais à esquerda dos respectivos subgrupos, isto é, os conjuntos quocientes G / H (observe qual é a operação no grupo):
© H=4 Z em G=2 Z ;
Considere o grupo linear geral G Ln(K), onde K=Q, R ou C.
(b) Encontre CG(cc-1 & 3 0 & 1), isto é, encontre o centralizador do elemento (cc-1 & 3 0 & 1), para K= R.
Verifique, em cada caso, se o conjunto W é um subespaço vetorial.
k) W=A in Mn(R) mid A B=B A em que B é uma matriz dada.
Seja G um grupo e x in G. Prove que:
(a) x^m cdot x^n=x^m+n, forall m, n in Z.