Verifique, em cada caso, se o conjunto
é um subespaço vetorial.
k)
em que
é uma matriz dada.
k)
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. A questão quer que a gente verifique se o conjunto
, formado por todas as matrizes
de ordem
com entradas reais que satisfazem a condição
(onde
é uma matriz fixa dada), é um subespaço vetorial. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um subespaço vetorial e quais propriedades ele deve satisfazer.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar o que é um subespaço vetorial. Um subespaço vetorial de um espaço vetorial
é um conjunto que satisfaz três propriedades principais:
- Conjunto não vazio: O conjunto deve conter pelo menos o vetor zero.
- Fechado sob adição: Se dois vetores estão no conjunto, a soma deles também deve estar no conjunto.
- Fechado sob multiplicação por escalar: Se um vetor está no conjunto, qualquer múltiplo desse vetor também deve estar no conjunto.
Nossa tarefa é verificar se
atende a essas três condições dentro do espaço das matrizes
.
Passo 3
1. Verificar se
é não vazio:
Vamos ver se a matriz zero
está em
. Isso significa verificar se
.
Sabemos que a matriz zero multiplicada por qualquer matriz
dá a matriz zero:
Portanto,
está em
, e isso mostra que
não é vazio.
Passo 4
2. Verificar se
é fechado sob adição:
Vamos pegar duas matrizes
e
em
. Isso significa que:
Precisamos mostrar que
também está em
, ou seja, que:
Vamos calcular ambos os lados:
Portanto,
, o que significa que
também está em
.
Passo 5
3. Verificar se
é fechado sob multiplicação por escalar:
Vamos pegar uma matriz
em
e um escalar
. Como
está em
, temos:
Precisamos mostrar que
também está em
, ou seja:
Vamos calcular ambos os lados:
Portanto,
, o que significa que
também está em
.
Resposta
Sim, o conjunto
é um subespaço vetorial.
Exercícios relacionados
Considere o grupo
e o subconjunto
.
(a) Mostre que .
(a) Mostre que
Determine todas as classes laterais à esquerda dos respectivos subgrupos, isto é, os conjuntos quocientes
(observe qual é a operação no grupo):
© em
©
Seja
um grupo e
. Prove que:
(a) .
(a)
Verifique, em cada caso, se o conjunto
é um subespaço vetorial.
l) .
l)