Considere o grupo linear geral , onde ou .
(b) Encontre , isto é, encontre o centralizador do elemento , para .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema pede pra gente encontrar o centralizador da matriz no grupo geral linear . Basicamente, isso significa que queremos descobrir todas as matrizes invertíveis que comutam com essa matriz específica, ou seja, que satisfazem , onde . Pra resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especialmente sobre comutatividade de matrizes.
Passo 2
Primeiro, vamos definir a matriz que queremos encontrar. Ela vai ter a forma geral de uma matriz :
Nosso objetivo é achar os valores de , , e que fazem com que .
Passo 3
Agora, vamos calcular os produtos e :
Passo 4
Para que , as matrizes resultantes devem ser iguais. Então, vamos igualar as respectivas entradas:
Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
Já sabemos que , então essa equação está ok.
Com , também está ok.
Passo 5
Com , a única equação que precisamos resolver é:
Podemos isolar :
Então, as matrizes que comutam com têm a forma:
Onde e são números reais. Além disso, para que seja invertível, o determinante precisa ser diferente de zero. Calculando o determinante de :
Para que , precisamos que (já que se , , o que não é permitido no ).
Resposta
O centralizador de em é o conjunto de todas as matrizes invertíveis da forma: