Seja G um grupo e x in G. Prove que:
(a) x^m cdot x^n=x^m+n, forall m, n in Z.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para provar que, em um grupo , para qualquer elemento em e para quaisquer inteiros e , a multiplicação das potências e resulta em . Para resolver isso, vamos usar conceitos básicos de teoria de grupos, como a definição de potência de um elemento e as propriedades de grupos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa x^m = underbracex cdot x cdot ldots cdot xm vezes em um grupo. Para um número inteiro positivo x^-m = (x^m)^-1 , significa multiplicar o elemento por ele mesmo vezes:
Para , por definição, é o elemento neutro do grupo. E para negativo, é o inverso de :

Passo 3

Agora, vamos considerar dois casos: quando x^m cdot x^n = underbracex cdot x cdot ldots cdot xm vezes cdot underbracex cdot x cdot ldots cdot xn vezes = underbracex cdot x cdot ldots cdot xm+n vezes = x^m+n e x^m cdot x^n = (x^-k) cdot x^n = (x^k)^-1 cdot x^n são positivos e quando pelo menos um deles é negativo.
Caso 1: (x^k)^-1 cdot x^n = x^n - k = x^m + n e são positivos
Nesse caso, temos:
Aqui, usamos a propriedade associativa do grupo, que permite agrupar os elementos da maneira que quisermos.
Caso 2: Pelo menos um dos ou é negativo
Sem perda de generalidade, suponha que seja negativo. Então podemos escrever:
onde é positivo. Pelo teorema do cancelamento em grupos, temos:
Assim, demonstramos que a propriedade também vale quando os expoentes são negativos.

Resposta

Portanto, mostramos que para qualquer x^m cdot x^n = x^m+n e ,

Exercícios relacionados

Verifique, em cada caso, se o conjunto W é um subespaço vetorial.
k) W=A in Mn(R) mid A B=B A em que B é uma matriz dada.
Considere o grupo G=G L2(R) e o subconjunto H=(ccc & 0 0 & c) ; c in R^*.
(a) Mostre que H <= G.
Verifique, em cada caso, se o conjunto W é um subespaço vetorial.
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