Beleza, vamos lá! O exercício pede para provar que, em um grupo , para qualquer elemento em e para quaisquer inteiros e , a multiplicação das potências e resulta em . Para resolver isso, vamos usar conceitos básicos de teoria de grupos, como a definição de potência de um elemento e as propriedades de grupos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa em um grupo. Para um número inteiro positivo , significa multiplicar o elemento por ele mesmo vezes:
Para , por definição, é o elemento neutro do grupo. E para negativo, é o inverso de :
Passo 3
Agora, vamos considerar dois casos: quando x^m cdot x^n = underbracex cdot x cdot ldots cdot xm vezes cdot underbracex cdot x cdot ldots cdot xn vezes = underbracex cdot x cdot ldots cdot xm+n vezes = x^m+n e x^m cdot x^n = (x^-k) cdot x^n = (x^k)^-1 cdot x^n são positivos e quando pelo menos um deles é negativo.
Caso 1: (x^k)^-1 cdot x^n = x^n - k = x^m + n e são positivos
Nesse caso, temos:
Aqui, usamos a propriedade associativa do grupo, que permite agrupar os elementos da maneira que quisermos.
Caso 2: Pelo menos um dos ou é negativo
Sem perda de generalidade, suponha que seja negativo. Então podemos escrever:
onde é positivo. Pelo teorema do cancelamento em grupos, temos:
Assim, demonstramos que a propriedade também vale quando os expoentes são negativos.
Resposta
Portanto, mostramos que para qualquer x^m cdot x^n = x^m+n e ,