Escreva a equação reduzida da elipse, dados:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente escrever a equação reduzida de uma elipse a partir da equação dada:
. A matéria aqui envolve geometria analítica, especificamente o estudo das cônicas, e vamos precisar entender como transformar uma equação geral de uma cônica para a sua forma padrão ou reduzida.
Passo 2
Primeiro, precisamos identificar se a equação dada realmente representa uma elipse. A forma geral de uma elipse é
, onde
e
são os semi-eixos maior e menor, respectivamente. No entanto, a equação que temos é
, que na verdade representa uma hipérbole por causa do sinal negativo entre os termos.
Mas o enunciado falou em elipse, então talvez tenha ocorrido um erro na formulação. Vamos supor que o sinal certo seja positivo, ou seja,
, que simifica uma elipse.
Passo 3
Agora, para chegar à equação reduzida (forma padrão) da elipse, precisamos dividir todos os termos da equação por 36, que é o termo isolado no lado direito:
Simplificando cada fração:
Passo 4
Prontinho! Essa é a equação reduzida da elipse. Aqui,
significa que o semi-eixo menor
é 2 (pois
) e
indica que o semi-eixo maior
é 3 (já que
). Essa forma facilita identificar as características principais da elipse, como os comprimentos dos eixos e o seu centro, que nesse caso está na origem
.
Resposta
A equação reduzida da elipse é
.
Exercícios relacionados
Sejam
e
as transformações lineares dadas a seguir, determine se
e
e verifique se os resultados são iguais.
(b) é a rotação em torno da origem pelo ângulo
e
é a rotação em torno da origem pelo ângulo
.
(b)
Prove que
.
Considere o grupo linear geral
, onde
ou
.
(b) Encontre , isto é, encontre o centralizador do elemento
, para
.
(b) Encontre
Determine todas as classes laterais à esquerda dos respectivos subgrupos, isto é, os conjuntos quocientes
(observe qual é a operação no grupo):
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