Considere a Hamiltoniana do oscilador harmônico:
a) Calcule os seguintes produtos internos:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre a Hamiltoniana do oscilador harmônico e pede para calcular alguns produtos internos envolvendo os operadores de aniquilação
e criação
no estado
. Para resolver isso, vamos precisar entender como esses operadores atuam nos estados de número e usar as propriedades básicas da mecânica quântica.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular
.
Sabemos que o operador de aniquilação
age no estado
da seguinte forma:
Então, o produto interno fica:
Mas,
porque estados com números diferentes são ortogonais. Portanto:
Passo 3
Agora, vamos calcular
.
Primeiro, aplicamos
no estado
:
Depois, aplicamos
:
Então, o produto interno fica:
Já que
.
Passo 4
Vamos calcular
.
Primeiro, aplicamos
duas vezes:
Então, o produto interno fica:
Mais uma vez, porque
.
Passo 5
Por fim, vamos calcular
.
Aplicamos
duas vezes:
Então, o produto interno fica:
Pois
.
Resposta
Os produtos internos calculados são: