Considere a Hamiltoniana do oscilador harmônico:
H=p^22 m+m omega^2 x^22,
a) Calcule os seguintes produtos internos:
r lang<=nu| a|nurang<=, lang<=nu| a^dag>=r a|nurang<=, lang<=nu| a^2|nurang<=, lang<=nu| a^dag>=r^2|nurang<=,

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre a Hamiltoniana do oscilador harmônico e pede para calcular alguns produtos internos envolvendo os operadores de aniquilação e criação no estado . Para resolver isso, vamos precisar entender como esses operadores atuam nos estados de número e usar as propriedades básicas da mecânica quântica.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a |nurang<= = raiznu |nu - 1rang<= .
Sabemos que o operador de aniquilação lang<= nu | a | nu rang<= = raiznu lang<= nu | nu - 1 rang<= age no estado lang<= nu | a | nu rang<= = 0 da seguinte forma:
Então, o produto interno fica:
Mas, porque estados com números diferentes são ortogonais. Portanto:

Passo 3

Agora, vamos calcular a |nurang<= = raiznu |nu - 1rang<= .
Primeiro, aplicamos a^dag>=r (raiznu |nu - 1rang<=) = raiznu a^dag>=r |nu - 1rang<= = raiznu raiznu |nurang<= = nu |nurang<= no estado lang<= nu | a^dag>=r a | nu rang<= = lang<= nu | nu |nurang<= = nu lang<= nu | nu rang<= = nu :
Depois, aplicamos :
Então, o produto interno fica:
Já que .

Passo 4

Vamos calcular a^2 |nurang<= = a (a |nurang<=) = a (raiznu |nu - 1rang<=) = raiznu a |nu - 1rang<= = raiznu raiznu - 1 |nu - 2rang<= .
Primeiro, aplicamos lang<= nu | a^2 | nu rang<= = raiznu raiznu - 1 lang<= nu | nu - 2 rang<= = 0 duas vezes:
Então, o produto interno fica:
Mais uma vez, porque .

Passo 5

Por fim, vamos calcular a^dag>=r 2 |nurang<= = a^dag>=r (a^dag>=r |nurang<=) = a^dag>=r (raiznu + 1 |nu + 1rang<=) = raiznu + 1 a^dag>=r |nu + 1rang<= = raiznu + 1 raiznu + 2 |nu + 2rang<= .
Aplicamos lang<= nu | a^dag>=r 2 | nu rang<= = raiznu + 1 raiznu + 2 lang<= nu | nu + 2 rang<= = 0 duas vezes:
Então, o produto interno fica:
Pois .

Resposta

Os produtos internos calculados são:
lang<= nu | a | nu rang<= &= 0, lang<= nu | a^dag>=r a | nu rang<= &= nu, lang<= nu | a^2 | nu rang<= &= 0, lang<= nu | a^dag>=r^2 | nu rang<= &= 0

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