Considere a Hamiltoniana do oscilador harmônico:
b) Calcule o valor médio da energia cinética e energia potencial do oscilador harmônico para um autoestado
. Dica: escreva
e
em função de
e
e use os resultados do item a).
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular o valor médio da energia cinética e da energia potencial num estado próprio do oscilador harmônico, que é uma parte importante da mecânica quântica. Para isso, vamos precisar usar os operadores de criação e aniquilação, chamados de
e
. Vamos passo a passo pra entender tudinho!
Passo 2
Primeiro, precisamos expressar as quantidades
(momento ao quadrado) e
(posição ao quadrado) em termos dos operadores
e
. Sabemos que:
Agora, vamos elevar ao quadrado essas expressões:
Passo 3
Agora, vamos substituir essas expressões na Hamiltoniana do oscilador harmônico:
Substituindo
e
:
Simplificando:
Perceba que os termos com
e
cancelam, e temos:
Passo 4
Sabemos que
é um estado próprio de
, então:
Agora, queremos encontrar os valores médios da energia cinética
e da energia potencial
. Vamos usar a relação que encontramos para
:
Além disso, na Hamiltoniana expressa em termos de
e
, vemos que a energia total é dividida igualmente entre energia cinética e potencial.
Passo 5
Portanto, o valor médio da energia cinética é metade da energia total, e o mesmo vale para a energia potencial. Assim:
Resposta
O valor médio da energia cinética e da energia potencial no estado
é:
Exercícios relacionados
Qual a amplitude de uma onda resultante da combinação de duas ondas senoidais de mesma frequência e mesmo sentido de propagação, se suas amplitudes são de
e de
e diferem em fase de
?
Dado a função de onda:
c) Qual o valor médio de momento?
Dado o vetor de estado de um espaço de dimensão dois:
b) Dado o operador
, com autoestados
e
e o operador
. Os operadores
e
são compativeis?
Dado o estado:
com
uma base ortonormal.
a) Obtenha o coeficiente de normalização .
a) Obtenha o coeficiente de normalização