Considere a Hamiltoniana do oscilador harmônico:
H=p^22 m+m omega^2 x^22,
b) Calcule o valor médio da energia cinética e energia potencial do oscilador harmônico para um autoestado |nurang<=. Dica: escreva p^2 e x^2 em função de a e a^dag>=r e use os resultados do item a).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular o valor médio da energia cinética e da energia potencial num estado próprio do oscilador harmônico, que é uma parte importante da mecânica quântica. Para isso, vamos precisar usar os operadores de criação e aniquilação, chamados de a e a^dag>=r. Vamos passo a passo pra entender tudinho!

Passo 2

Primeiro, precisamos expressar as quantidades p^2 (momento ao quadrado) e x^2 (posição ao quadrado) em termos dos operadores a e a^dag>=r. Sabemos que:
x = raizhbar2 m omega (a + a^dag>=r)
p = i raizm hbar omega2 (a^dag>=r - a)
Agora, vamos elevar ao quadrado essas expressões:
x^2 = hbar2 m omega (a + a^dag>=r)^2 = hbar2 m omega (a^2 + a^dag>=r 2 + a a^dag>=r + a^dag>=r a)
p^2 = -m hbar omega2 (a^dag>=r - a)^2 = m hbar omega2 (a^2 + a^dag>=r 2 - a a^dag>=r - a^dag>=r a)

Passo 3

Agora, vamos substituir essas expressões na Hamiltoniana do oscilador harmônico:
H = p^22 m + 12 m omega^2 x^2
Substituindo p^2 e x^2:
H = 12 m ( m hbar omega2 (a^2 + a^dag>=r 2 - a a^dag>=r - a^dag>=r a) ) + 12 m omega^2 ( hbar2 m omega (a^2 + a^dag>=r 2 + a a^dag>=r + a^dag>=r a) )
Simplificando:
H = hbar omega4 (a^2 + a^dag>=r 2) - hbar omega4 (a a^dag>=r + a^dag>=r a) + hbar omega4 (a^2 + a^dag>=r 2) + hbar omega4 (a a^dag>=r + a^dag>=r a)
Perceba que os termos com a^2 e a^dag>=r 2 cancelam, e temos:
H = hbar omega2 (a^dag>=r a + 12)

Passo 4

Sabemos que |nurang<= é um estado próprio de H, então:
H |nurang<= = hbar omega ( nu + 12 ) |nurang<=
Agora, queremos encontrar os valores médios da energia cinética lang<= T rang<= e da energia potencial lang<= V rang<=. Vamos usar a relação que encontramos para H:
H = T + V = p^22 m + 12 m omega^2 x^2
Além disso, na Hamiltoniana expressa em termos de a e a^dag>=r, vemos que a energia total é dividida igualmente entre energia cinética e potencial.

Passo 5

Portanto, o valor médio da energia cinética é metade da energia total, e o mesmo vale para a energia potencial. Assim:
lang<= T rang<= = lang<= V rang<= = 12 hbar omega ( nu + 12 )

Resposta

O valor médio da energia cinética e da energia potencial no estado |nurang<= é:
lang<= T rang<= = lang<= V rang<= = hbar omega2 ( nu + 12 )

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