Dado a função de onda:
psi(x)=N sin (k x) e^-lambda x
com lambda>0 e k in R.
c) Qual o valor médio de momento?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado da questão nos dá uma função de onda:
psi(x) = N sin(k x) e^-lambda x
onde lambda > 0 e k é um número real. A pergunta é: Qual é o valor médio de momento dessa função de onda?
Para resolver isso, vamos usar conceitos de mecânica quântica, especificamente sobre como calcular o valor esperado (médio) do momento usando operadores matemáticos.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que significa “valor médio de momento”. Em mecânica quântica, o valor esperado do momento lang<= p rang<= para uma função de onda psi(x) é dado por:
lang<= p rang<= = integral-infty^+infty psi^*(x) (-ihbar ddx) psi(x) , dx
Aqui, psi^*(x) é o complexo conjugado de psi(x), hbar é a constante de Planck reduzida, e i é a unidade imaginária.

Passo 3

Antes de calcular lang<= p rang<=, precisamos garantir que nossa função de onda está normalizada, ou seja, que a integral do módulo ao quadrado de psi(x) ao longo de todo o espaço é igual a 1:
integral-infty^+infty |psi(x)|^2 , dx = 1
Vamos calcular isso para encontrar a constante de normalização N.

Passo 4

Calculando |psi(x)|^2:
|psi(x)|^2 = [N sin(k x) e^-lambda x]^2 = N^2 sin^2(k x) e^-2lambda x
Então, a condição de normalização fica:
N^2 integral-infty^+infty sin^2(k x) e^-2lambda x , dx = 1
Como lambda > 0, o termo e^-2lambda x tende a zero quando x to +infty, e para garantir que a integral converja, assumimos que a função de onda é definida para x >= 0. Portanto, a integral se torna de 0 a infty:
N^2 integral0^+infty sin^2(k x) e^-2lambda x , dx = 1

Passo 5

Vamos resolver a integral:
integral0^+infty sin^2(k x) e^-2lambda x , dx
Usando a identidade trigonométrica sin^2(kx) = 1 - cos(2kx)2, temos:
12 integral0^+infty (1 - cos(2kx)) e^-2lambda x , dx = 12 ( integral0^+infty e^-2lambda x , dx - integral0^+infty cos(2kx) e^-2lambda x , dx )
Calculando cada integral separadamente:
  1. integral0^+infty e^-2lambda x , dx = 12lambda
  2. integral0^+infty cos(2kx) e^-2lambda x , dx = 2lambda4lambda^2 + 4k^2 = lambda2lambda^2 + 2k^2
Substituindo de volta:
12 ( 12lambda - lambda2lambda^2 + 2k^2 ) = 14lambda - lambda4lambda^2 + 4k^2 = 14lambda - lambda4(lambda^2 + k^2) = 14lambda - lambda4(lambda^2 + k^2)
Simplificando:
14 ( 1lambda - lambdalambda^2 + k^2 ) = 14 ( lambda^2 + k^2 - lambda^2lambda (lambda^2 + k^2) ) = 14 ( k^2lambda (lambda^2 + k^2) ) = k^24lambda (lambda^2 + k^2)
Então, a condição de normalização fica:
N^2 cdot k^24lambda (lambda^2 + k^2) = 1 implies N^2 = 4lambda (lambda^2 + k^2)k^2 implies N = raiz4lambda (lambda^2 + k^2)k^2 = 2raizlambda (lambda^2 + k^2)k

Passo 6

Agora que temos N, vamos calcular o valor médio do momento:
lang<= p rang<= = integral0^+infty psi^*(x) (-ihbar ddx) psi(x) , dx
Como psi(x) é real (não tem parte imaginária), psi^*(x) = psi(x). Então:
lang<= p rang<= = -ihbar integral0^+infty psi(x) ddx psi(x) , dx
Substituindo psi(x):
lang<= p rang<= = -ihbar integral0^+infty ( N sin(k x) e^-lambda x ) ( N ddx [sin(k x) e^-lambda x] ) , dx
Calculando a derivada:
ddx [sin(k x) e^-lambda x] = k cos(k x) e^-lambda x - lambda sin(k x) e^-lambda x
Então:
lang<= p rang<= = -ihbar N^2 integral0^+infty sin(k x) e^-lambda x ( k cos(k x) e^-lambda x - lambda sin(k x) e^-lambda x ) , dx
Simplificando:
lang<= p rang<= = -ihbar N^2 integral0^+infty [k sin(k x) cos(k x) e^-2lambda x - lambda sin^2(k x) e^-2lambda x] , dx

Passo 7

Observamos que a integral envolve termos com sin(kx)cos(kx) e sin^2(kx). Vamos resolver cada parte separadamente.
  1. Primeiro termo:
integral0^+infty sin(k x) cos(k x) e^-2lambda x , dx
Usando a identidade trigonométrica sin(kx)cos(kx) = sin(2kx)2:
12 integral0^+infty sin(2kx) e^-2lambda x , dx
Esta integral é de uma função ímpar multiplicada por uma função par, resultando em zero quando integrada de -infty a +infty. Mas como integramos de 0 a infty, precisamos calcular:
integral0^+infty sin(2kx) e^-2lambda x , dx = 2k(2lambda)^2 + (2k)^2 = 2k4lambda^2 + 4k^2 = k2(lambda^2 + k^2)
Portanto:
12 cdot k2(lambda^2 + k^2) = k4(lambda^2 + k^2)
  1. Segundo termo:
Já calculamos anteriormente:
integral0^+infty sin^2(k x) e^-2lambda x , dx = k^24lambda (lambda^2 + k^2)

Passo 8

Agora, substituindo as integrais de volta na expressão para lang<= p rang<=:
lang<= p rang<= = -ihbar N^2 [ k cdot k4(lambda^2 + k^2) - lambda cdot k^24lambda (lambda^2 + k^2) ]
Simplificando cada termo:
  1. k cdot k4(lambda^2 + k^2) = k^24(lambda^2 + k^2)
  2. lambda cdot k^24lambda (lambda^2 + k^2) = k^24(lambda^2 + k^2)
Então:
lang<= p rang<= = -ihbar N^2 ( k^24(lambda^2 + k^2) - k^24(lambda^2 + k^2) ) = -ihbar N^2 (0) = 0

Resposta

O valor médio de momento é zero.

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