Dado a função de onda:
e .
c) Qual o valor médio de momento?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado da questão nos dá uma função de onda:
onde e é um número real. A pergunta é: Qual é o valor médio de momento dessa função de onda?
Para resolver isso, vamos usar conceitos de mecânica quântica, especificamente sobre como calcular o valor esperado (médio) do momento usando operadores matemáticos.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que significa “valor médio de momento”. Em mecânica quântica, o valor esperado do momento para uma função de onda é dado por:
Aqui, é o complexo conjugado de , é a constante de Planck reduzida, e é a unidade imaginária.

Passo 3

Antes de calcular , precisamos garantir que nossa função de onda está normalizada, ou seja, que a integral do módulo ao quadrado de ao longo de todo o espaço é igual a 1:
Vamos calcular isso para encontrar a constante de normalização .

Passo 4

Calculando :
Então, a condição de normalização fica:
Como , o termo tende a zero quando , e para garantir que a integral converja, assumimos que a função de onda é definida para . Portanto, a integral se torna de 0 a :

Passo 5

Vamos resolver a integral:
Usando a identidade trigonométrica , temos:
Calculando cada integral separadamente:
Substituindo de volta:
Simplificando:
Então, a condição de normalização fica:

Passo 6

Agora que temos , vamos calcular o valor médio do momento:
Como é real (não tem parte imaginária), . Então:
Substituindo :
Calculando a derivada:
Então:
Simplificando:

Passo 7

Observamos que a integral envolve termos com e . Vamos resolver cada parte separadamente.
  1. Primeiro termo:
Usando a identidade trigonométrica :
Esta integral é de uma função ímpar multiplicada por uma função par, resultando em zero quando integrada de a . Mas como integramos de 0 a , precisamos calcular:
Portanto:
  1. Segundo termo:
Já calculamos anteriormente:

Passo 8

Agora, substituindo as integrais de volta na expressão para :
Simplificando cada termo:
Então:

Resposta

O valor médio de momento é zero.

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