Dado a função de onda:
e
.
c) Qual o valor médio de momento?
c) Qual o valor médio de momento?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado da questão nos dá uma função de onda:
onde
e
é um número real. A pergunta é: Qual é o valor médio de momento dessa função de onda?
Para resolver isso, vamos usar conceitos de mecânica quântica, especificamente sobre como calcular o valor esperado (médio) do momento usando operadores matemáticos.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que significa “valor médio de momento”. Em mecânica quântica, o valor esperado do momento
para uma função de onda
é dado por:
Aqui,
é o complexo conjugado de
,
é a constante de Planck reduzida, e
é a unidade imaginária.
Passo 3
Antes de calcular
, precisamos garantir que nossa função de onda está normalizada, ou seja, que a integral do módulo ao quadrado de
ao longo de todo o espaço é igual a 1:
Vamos calcular isso para encontrar a constante de normalização
.
Passo 4
Calculando
:
Então, a condição de normalização fica:
Como
, o termo
tende a zero quando
, e para garantir que a integral converja, assumimos que a função de onda é definida para
. Portanto, a integral se torna de 0 a
:
Passo 5
Vamos resolver a integral:
Usando a identidade trigonométrica
, temos:
Calculando cada integral separadamente:
Substituindo de volta:
Simplificando:
Então, a condição de normalização fica:
Passo 6
Agora que temos
, vamos calcular o valor médio do momento:
Como
é real (não tem parte imaginária),
. Então:
Substituindo
:
Calculando a derivada:
Então:
Simplificando:
Passo 7
Observamos que a integral envolve termos com
e
. Vamos resolver cada parte separadamente.
- Primeiro termo:
Usando a identidade trigonométrica
:
Esta integral é de uma função ímpar multiplicada por uma função par, resultando em zero quando integrada de
a
. Mas como integramos de 0 a
, precisamos calcular:
Portanto:
- Segundo termo:
Já calculamos anteriormente:
Passo 8
Agora, substituindo as integrais de volta na expressão para
:
Simplificando cada termo:
Então:
Resposta
O valor médio de momento é zero.