Dado o vetor de estado de um espaço de dimensão dois:
b) Dado o operador , com autoestados e e o operador . Os operadores e são compativeis?

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos dois operadores, e , definidos no espaço quântico de dimensão dois. A pergunta é se esses operadores são compatíveis. Na física quântica, dois operadores são compatíveis se eles comutam, ou seja, se a ordem em que são aplicados não importa. Para verificar isso, vamos precisar calcular o comutador de e .

Passo 2

Vamos relembrar que o comutador de dois operadores e é definido como:
Se o comutador for igual a zero, ou seja, , então os operadores são compatíveis.

Passo 3

Primeiro, vamos calcular . Sabemos que:
Multiplicando por :
Vamos distribuir os termos:
Simplificando usando :
Então:

Passo 4

Agora, vamos calcular :
Distribuindo os termos:
Simplificando usando :
Então:

Passo 5

Agora, vamos calcular o comutador :
Simplificando:

Resposta

Como o comutador não é igual a zero, os operadores e não são compatíveis.

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