Dado o vetor de estado de um espaço de dimensão dois:
|psirang<==cos theta|0rang<=+sin theta e^i phi / 2|1rang<=
b) Dado o operador A=|0rang<=lang<= 0|-|1rang<=lang<= 1|, com autoestados |0rang<= e |1rang<= e o operador B=|0rang<=lang<= 1|+|1rang<=lang<= 0|. Os operadores A e B são compativeis?

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos dois operadores, e , definidos no espaço quântico de dimensão dois. A pergunta é se esses operadores são compatíveis. Na física quântica, dois operadores são compatíveis se eles comutam, ou seja, se a ordem em que são aplicados não importa. Para verificar isso, vamos precisar calcular o comutador de e .

Passo 2

Vamos relembrar que o comutador de dois operadores [A, B] = AB - BA e é definido como:
Se o comutador for igual a zero, ou seja, , então os operadores são compatíveis.

Passo 3

Primeiro, vamos calcular A = |0rang<=lang<= 0| - |1rang<=lang<= 1| . Sabemos que:
B = |0rang<=lang<= 1| + |1rang<=lang<= 0|
AB = (|0rang<=lang<= 0| - |1rang<=lang<= 1|)(|0rang<=lang<= 1| + |1rang<=lang<= 0|)
Multiplicando AB = |0rang<=lang<= 0|0rang<=lang<= 1| + |0rang<=lang<= 0|1rang<=lang<= 0| - |1rang<=lang<= 1|0rang<=lang<= 1| - |1rang<=lang<= 1|1rang<=lang<= 0| por AB = |0rang<=lang<= 1| + 0 - 0 - |1rang<=lang<= 0| :
AB = |0rang<=lang<= 1| - |1rang<=lang<= 0|
Vamos distribuir os termos:
Simplificando usando :
Então:

Passo 4

Agora, vamos calcular BA = (|0rang<=lang<= 1| + |1rang<=lang<= 0|)(|0rang<=lang<= 0| - |1rang<=lang<= 1|) :
BA = |0rang<=lang<= 1|0rang<=lang<= 0| - |0rang<=lang<= 1|1rang<=lang<= 1| + |1rang<=lang<= 0|0rang<=lang<= 0| - |1rang<=lang<= 0|1rang<=lang<= 1|
Distribuindo os termos:
BA = 0 - |0rang<=lang<= 1| + |1rang<=lang<= 0| - 0
Simplificando usando BA = -|0rang<=lang<= 1| + |1rang<=lang<= 0| :
Então:

Passo 5

Agora, vamos calcular o comutador [A, B] = AB - BA = (|0rang<=lang<= 1| - |1rang<=lang<= 0|) - (-|0rang<=lang<= 1| + |1rang<=lang<= 0|) :
[A, B] = |0rang<=lang<= 1| - |1rang<=lang<= 0| + |0rang<=lang<= 1| - |1rang<=lang<= 0|
Simplificando:
[A, B] = 2|0rang<=lang<= 1| - 2|1rang<=lang<= 0|

Resposta

Como o comutador não é igual a zero, os operadores e não são compatíveis.

Exercícios relacionados