Dado o vetor de estado de um espaço de dimensão dois:
b) Dado o operador
, com autoestados
e
e o operador
. Os operadores
e
são compativeis?
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos dois operadores,
e
, definidos no espaço quântico de dimensão dois. A pergunta é se esses operadores são compatíveis. Na física quântica, dois operadores são compatíveis se eles comutam, ou seja, se a ordem em que são aplicados não importa. Para verificar isso, vamos precisar calcular o comutador de
e
.
Passo 2
Vamos relembrar que o comutador de dois operadores
e
é definido como:
Se o comutador for igual a zero, ou seja,
, então os operadores são compatíveis.
Passo 3
Primeiro, vamos calcular
. Sabemos que:
Multiplicando
por
:
Vamos distribuir os termos:
Simplificando usando
:
Então:
Passo 4
Agora, vamos calcular
:
Distribuindo os termos:
Simplificando usando
:
Então:
Passo 5
Agora, vamos calcular o comutador
:
Simplificando:
Resposta
Como o comutador
não é igual a zero, os operadores
e
não são compatíveis.