Dado o estado:
|alpharang<==N sumn=0^infty raizalpha^nn!|nrang<=
com |nrang<= uma base ortonormal.
a) Obtenha o coeficiente de normalização N.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado nos dá um estado quântico que está escrito como uma superposição de estados base . Nosso objetivo aqui é encontrar o coeficiente de normalização . Para isso, vamos usar conceitos de normalização de estados quânticos e somatórios infinitos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para um estado quântico estar normalizado, a soma dos quadrados dos coeficientes das suas componentes deve ser igual a 1. Ou seja, precisamos garantir que:
lang<= alpha | alpha rang<= = 1

Passo 3

Vamos calcular |alpharang<= = N sumn=0^infty raizalpha^nn!|nrang<= . Sabemos que:
lang<= alpha | alpha rang<= = N^2 sumn=0^infty alpha^nn! lang<= n | n rang<=
Então,
lang<= alpha | alpha rang<= = N^2 sumn=0^infty alpha^nn!
Como é uma base ortonormal, . Assim, a expressão simplifica para:

Passo 4

Reconhecemos que a soma sumn=0^infty alpha^nn! = e^alpha é a expansão em série de Taylor da função exponencial lang<= alpha | alpha rang<= = N^2 e^alpha . Portanto:
Substituindo na expressão anterior:

Passo 5

Para que o estado esteja normalizado, devemos ter N^2 e^alpha = 1 . Então:
N^2 = e^-alpha
Resolvendo para N = e^-alpha/2 :

Resposta

O coeficiente de normalização é .

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