Dado o estado:
com uma base ortonormal.
a) Obtenha o coeficiente de normalização .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado nos dá um estado quântico que está escrito como uma superposição de estados base . Nosso objetivo aqui é encontrar o coeficiente de normalização . Para isso, vamos usar conceitos de normalização de estados quânticos e somatórios infinitos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para um estado quântico estar normalizado, a soma dos quadrados dos coeficientes das suas componentes deve ser igual a 1. Ou seja, precisamos garantir que:

Passo 3

Vamos calcular . Sabemos que:
Então,
Como é uma base ortonormal, . Assim, a expressão simplifica para:

Passo 4

Reconhecemos que a soma é a expansão em série de Taylor da função exponencial . Portanto:
Substituindo na expressão anterior:

Passo 5

Para que o estado esteja normalizado, devemos ter . Então:
Resolvendo para :

Resposta

O coeficiente de normalização é .

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