Considere a hélice . O helicoide que contém é a superfície obtida ao juntarmos, a cada ponto , a reta que une ao ponto de mesma altura no eixo da hélice ( o eixo dos ). Isto é, tal helicoide é a união destas retas.
Determine o plano tangente à superfície no ponto , escrevendo tanto as equações paramétricas como a equação cartesiana deste plano.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me passou um exercício sobre geometria envolvendo uma hélice e um helicoide. O objetivo é encontrar o plano tangente à superfície do helicoide no ponto específico . Para resolver isso, a gente vai precisar usar conceitos de cálculo de superfícies, como derivadas parciais e vetores normais. Vamos passo a passo para não deixar nada confuso!
Passo 2
Primeiro, vamos entender como é definida a superfície do helicoide . Ela é construída a partir da hélice . Basicamente, para cada ponto na hélice, a gente conecta esse ponto a outro ponto que está diretamente acima ou abaixo no eixo (o eixo dos ).
Passo 3
Para facilitar os cálculos, vamos parametrizar a superfície . Podemos usar dois parâmetros: , que percorre a hélice, e , que desliza de 0 a 1 ao longo da reta que liga o ponto na hélice ao eixo . Então, a parametrização fica assim:
Aqui, nos dá o ponto no eixo , e nos dá o ponto na hélice.
Passo 4
Agora, queremos encontrar os valores de e que correspondem ao ponto . Olhando para a coordenada , temos:
Substituindo nas coordenadas e :
Sabemos que , então:
Passo 5
Com e , vamos calcular as derivadas parciais da parametrização . Precisamos das derivadas em relação a e para encontrar os vetores tangentes à superfície naquele ponto.
Primeiro, a derivada em relação a :
Agora, a derivada em relação a :
Passo 6
Vamos avaliar essas derivadas no ponto específico onde e :
Passo 7
Para encontrar o vetor normal ao plano tangente, vamos calcular o produto vetorial desses dois vetores tangentes:
Usando as componentes:
Passo 8
Simplificando o vetor normal N, podemos fatorar o raiz(2)/2:
Para facilitar, podemos usar o vetor como normal, já que a direção é o que importa para a equação do plano.
Passo 9
Com o vetor normal e o ponto , a equação geral do plano é:
Simplificando:
Multiplicando todos os termos por -1 para deixar a equação mais elegante:
Passo 10
Agora, para escrever as equações paramétricas do plano tangente, usamos o ponto e os vetores tangentes e :
Onde r e s são parâmetros reais.
Resposta
A equação cartesiana do plano tangente à superfície X no ponto é: