Considere a hélice C = { ( cos(t), sen(t), t ), t em R }. O helicoide X que contém C é a superfície obtida ao juntarmos, a cada ponto P in C, a reta que une P ao ponto de mesma altura no eixo da hélice ( o eixo dos z ). Isto é, tal helicoide é a união destas retas.
Determine o plano tangente à superfície X no ponto (1, 1, pi / 4), escrevendo tanto as equações paramétricas como a equação cartesiana deste plano.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me passou um exercício sobre geometria envolvendo uma hélice e um helicoide. O objetivo é encontrar o plano tangente à superfície do helicoide X no ponto específico . Para resolver isso, a gente vai precisar usar conceitos de cálculo de superfícies, como derivadas parciais e vetores normais. Vamos passo a passo para não deixar nada confuso!

Passo 2

Primeiro, vamos entender como é definida a superfície do helicoide X. Ela é construída a partir da hélice . Basicamente, para cada ponto na hélice, a gente conecta esse ponto a outro ponto que está diretamente acima ou abaixo no eixo (o eixo dos z).

Passo 3

Para facilitar os cálculos, vamos parametrizar a superfície X. Podemos usar dois parâmetros: t, que percorre a hélice, e s, que desliza de 0 a 1 ao longo da reta que liga o ponto na hélice ao eixo z. Então, a parametrização fica assim:
Aqui, nos dá o ponto no eixo , e z nos dá o ponto na hélice.

Passo 4

Agora, queremos encontrar os valores de t e s que correspondem ao ponto . Olhando para a coordenada z, temos:
Substituindo t nas coordenadas x e y:
Sabemos que , então:

Passo 5

Com e , vamos calcular as derivadas parciais da parametrização . Precisamos das derivadas em relação a t e s para encontrar os vetores tangentes à superfície naquele ponto.
Primeiro, a derivada em relação a t:
Agora, a derivada em relação a :

Passo 6

Vamos avaliar essas derivadas no ponto específico onde e :

Passo 7

Para encontrar o vetor normal ao plano tangente, vamos calcular o produto vetorial desses dois vetores tangentes:
Usando as componentes:

Passo 8

Simplificando o vetor normal N, podemos fatorar o raiz(2)/2:
Para facilitar, podemos usar o vetor como normal, já que a direção é o que importa para a equação do plano.

Passo 9

Com o vetor normal e o ponto , a equação geral do plano é:
Simplificando:
Multiplicando todos os termos por -1 para deixar a equação mais elegante:

Passo 10

Agora, para escrever as equações paramétricas do plano tangente, usamos o ponto e os vetores tangentes e :
Onde r e s são parâmetros reais.

Resposta

A equação cartesiana do plano tangente à superfície X no ponto é:
E as equações paramétricas desse plano são:
Onde r e s são parâmetros reais.

Exercícios relacionados

Considere a hélice C = { ( cos(t), sen(t), t ), t em R }. O helicoide X que contém C é a superfície obtida ao juntarmos, a cada ponto P in C, a reta que une P ao ponto de mesma altura no eixo da hélice ( o eixo dos z ). Isto é, tal helicoide é a união destas retas.
Faça um desenho desta superfície e mostre que X consiste dos pontos da forma (u cos(v), u sen(v), v) (u, v em R).
Expresse as seguintes dízimas periódicas como frações.
b) 5,373737373737...
a) sumn=1^infty(-34)^n-1
Determine uma parametrização para cada superfície a seguir (em particular, especifique o domínio).
O elipsoide x^2/a^2 + y^2/b^2 + z^2/c^2 = 1. Sugestão: se (x, y, z) pertence ao elipsoide, observe que (x / a , y / b . z / c) pertence à esfera de raio 1 .