a) sumn=1^infty(-34)^n-1

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos que calcular a soma de uma série infinita representada por sumn=1^infty(-34)^n-1. Estamos lidando com séries geométricas, que envolvem uma sequência de termos onde cada termo é uma constante vezes o termo anterior. Para resolver isso, vamos precisar identificar o primeiro termo da série e a razão comum entre os termos.

Passo 2

Primeiro, identificamos o primeiro termo da série. Na série sumn=1^infty(-34)^n-1, quando n=1, temos:
(-34)^1-1 = (-34)^0 = 1
Então, o primeiro termo a1 é igual a 1.

Passo 3

Em seguida, identificamos a razão comum da série. A razão r é o fator pelo qual multiplicamos um termo para obter o próximo. Observando a expressão (-34)^n-1, vemos que a razão r é -34.

Passo 4

Agora, lembramos da fórmula para a soma de uma série geométrica infinita:
S = a11 - r
Importante: Essa fórmula só é válida se o valor absoluto da razão for menor que 1, ou seja, |r| < 1. No nosso caso, |-34| = 34 < 1, então podemos usar a fórmula.

Passo 5

Vamos aplicar os valores que encontramos na fórmula:
S = 11 - (-34) = 11 + 34 = 174 = 47

Resposta

A soma da série infinita é 47.

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