a)
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos que calcular a soma de uma série infinita representada por
. Estamos lidando com séries geométricas, que envolvem uma sequência de termos onde cada termo é uma constante vezes o termo anterior. Para resolver isso, vamos precisar identificar o primeiro termo da série e a razão comum entre os termos.
Passo 2
Primeiro, identificamos o primeiro termo da série. Na série
, quando
, temos:
Então, o primeiro termo
é igual a 1.
Passo 3
Em seguida, identificamos a razão comum da série. A razão
é o fator pelo qual multiplicamos um termo para obter o próximo. Observando a expressão
, vemos que a razão
é
.
Passo 4
Agora, lembramos da fórmula para a soma de uma série geométrica infinita:
Importante: Essa fórmula só é válida se o valor absoluto da razão for menor que 1, ou seja,
. No nosso caso,
, então podemos usar a fórmula.
Passo 5
Vamos aplicar os valores que encontramos na fórmula:
Resposta
A soma da série infinita é
.
Exercícios relacionados
Considere a hélice
. O helicoide
que contém
é a superfície obtida ao juntarmos, a cada ponto
, a reta que une
ao ponto de mesma altura no eixo da hélice ( o eixo dos
). Isto é, tal helicoide é a união destas retas.
Determine o plano tangente à superfície no ponto
, escrevendo tanto as equações paramétricas como a equação cartesiana deste plano.
Determine o plano tangente à superfície
Considere a hélice
. O helicoide
que contém
é a superfície obtida ao juntarmos, a cada ponto
, a reta que une
ao ponto de mesma altura no eixo da hélice ( o eixo dos
). Isto é, tal helicoide é a união destas retas.
Faça um desenho desta superfície e mostre que consiste dos pontos da forma
.
Faça um desenho desta superfície e mostre que
Determine uma parametrização para cada superfície a seguir (em particular, especifique o domínio).
O elipsoide . Sugestão: se
pertence ao elipsoide, observe que
pertence à esfera de raio 1 .
O elipsoide
Seja
a porção do paraboloide
contida no interior do cilindro
. Se um recipiente tem a forma da superfície
e sua densidade superficial no ponto
é dada por
, calcule a massa do recipiente.