Considere a hélice circular
dada por
, em que
e
são constante positivas.
Verifique que a curva não está parametrizada pelo comprimento do arco.
Verifique que a curva não está parametrizada pelo comprimento do arco.
Passo 1
Beleza, então a gente tem uma hélice circular definida por
, onde
e
são constantes positivas. Vamos trabalhar com cálculo de vetores aqui, mais especificamente com parametrização por comprimento de arco. Pra resolver isso, a gente vai precisar achar a velocidade da curva e ver se ela é igual a 1 em todos os pontos, que é o que caracteriza a parametrização pelo comprimento de arco.
Passo 2
Primeiro, vamos achar a derivada da função
em relação a
. Isso vai nos dar o vetor velocidade da hélice.
Passo 3
Agora, vamos calcular o módulo (ou norma) desse vetor velocidade
. Esse módulo representa a velocidade com que a hélice está sendo percorrida.
Simplificando a expressão usando a identidade trigonométrica
:
Passo 4
A parametrização por comprimento de arco exige que a velocidade
seja igual a 1 para todo
. Daqui, vemos que:
Para que a parametrização seja pelo comprimento de arco, precisaríamos que
. Mas, como
e
são constantes positivas e não necessariamente satisfazem essa igualdade, concluímos que a velocidade não é igual a 1.
Resposta
Portanto, a hélice não está parametrizada pelo comprimento de arco porque a velocidade
não é igual a 1.
Exercícios relacionados
Considere a hélice circular
dada por
, em que
e
são constante positivas.
Reparametrize a curva pelo comprimento do arco.
Reparametrize a curva pelo comprimento do arco.
Resolva o PVI:
Verifique a ordem das Equações Diferenciais. Em seguida, verifique se as funções ao lado são suas respectivas soluções.
, soluções:
e
.
Verifique a ordem das Equações Diferenciais. Em seguida, verifique se as funções ao lado são suas respectivas soluções.
, solução:
.