Considere a hélice circular r: R -> R^3 dada por r(t) = < a cos(t), a sen(t), b t >, em que a e b são constante positivas.
Verifique que a curva não está parametrizada pelo comprimento do arco.

Passo 1

Beleza, então a gente tem uma hélice circular definida por , onde e são constantes positivas. Vamos trabalhar com cálculo de vetores aqui, mais especificamente com parametrização por comprimento de arco. Pra resolver isso, a gente vai precisar achar a velocidade da curva e ver se ela é igual a 1 em todos os pontos, que é o que caracteriza a parametrização pelo comprimento de arco.

Passo 2

Primeiro, vamos achar a derivada da função em relação a . Isso vai nos dar o vetor velocidade da hélice.

Passo 3

Agora, vamos calcular o módulo (ou norma) desse vetor velocidade . Esse módulo representa a velocidade com que a hélice está sendo percorrida.
Simplificando a expressão usando a identidade trigonométrica :

Passo 4

A parametrização por comprimento de arco exige que a velocidade seja igual a 1 para todo . Daqui, vemos que:
Para que a parametrização seja pelo comprimento de arco, precisaríamos que . Mas, como e são constantes positivas e não necessariamente satisfazem essa igualdade, concluímos que a velocidade não é igual a 1.

Resposta

Portanto, a hélice não está parametrizada pelo comprimento de arco porque a velocidade não é igual a 1.

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