Beleza, vamos lá! Temos um hexágono regular ABCDEF com centro em O. O desafio aqui é encontrar as coordenadas dos pontos O, A, B, C, D, E e F em diferentes sistemas de coordenadas que são especificados nas partes (a) a (d) do exercício. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre hexágonos regulares, vetores e sistemas de coordenadas. Vamos passo a passo!
Passo 2
Parte (a): Sistema de coordenadas (O, OC, OD)
Primeiro, vamos entender o sistema de coordenadas dado: (O, OC, OD). Isso significa que o ponto O é a origem, e os vetores OC e OD são os vetores base que vão definir os eixos x e y desse sistema.
Como o hexágono é regular, todos os lados e ângulos são iguais. Sabemos que em um hexágono regular, cada ângulo central (entre dois vetores de pontos consecutivos) é de 60^circ. Vamos assumir que o lado do hexágono tem comprimento 1 para simplificar os cálculos.
Vamos posicionar o ponto O na origem (0,0). Agora, precisamos determinar as coordenadas dos outros pontos usando os vetores OC e OD como base.
Coordenadas de O:(0, 0)
Coordenadas de C: Como OC é um dos vetores base, C fica na direção do eixo x. Então, C é (1, 0).
Coordenadas de D:OD é o segundo vetor base, que fica a 60^circ de OC. As coordenadas de D serão (cos 60^circ, sin 60^circ) = (12, raiz32).
Agora, usando a simetria do hexágono e as relações vetoriais, podemos determinar as coordenadas dos demais pontos:
Coordenadas de A: É simétrico a C em relação a O, então A = (-1, 0).
Coordenadas de B: Está a 60^circ de A, então B = (-12, raiz32).
Coordenadas de E: Simétrico a D, então E = (12, -raiz32).
Coordenadas de F: Simétrico a B, então F = (-12, -raiz32).
Passo 3
Parte (b): Sistema de coordenadas (O, OC, OE)
Agora, o sistema de coordenadas mudou: temos (O, OC, OE). Aqui, O ainda é a origem, OC continua como nosso eixo x, mas agora OE é o novo eixo y.
Sabendo que OE é simétrico a OD em relação ao eixo x, podemos dizer que OE = (12, -raiz32).
Vamos usar essas novas bases para recalcular as coordenadas:
Coordenadas de O:(0, 0)
Coordenadas de C: Idealmente no eixo x, então C = (1, 0).
Coordenadas de E: No eixo y, então E = (0, 1).
Usando a mesma lógica de simetria e relações vetoriais:
Coordenadas de A: Continua sendo (-1, 0).
Coordenadas de B: Como antes, B = (-12, raiz32).
Coordenadas de D: Simétrico a E, então D = (12, -raiz32).
Coordenadas de F: Simétrico a B, então F = (-12, -raiz32).
Agora o sistema de coordenadas muda completamente: a origem passa a ser o ponto B, e os vetores BC e BO serão nossos novos eixos x e y.
Primeiro, precisamos encontrar as coordenadas relativas dos outros pontos em relação a B.
Sabemos que:
BC: Vai de B para C. Se B = (-12, raiz32) e C = (1,0), então BC = C - B = (1 + 12, 0 - raiz32) = (32, -raiz32).
BO: Vai de B para O. Se O = (0,0), então BO = (0 - (-12), 0 - raiz32) = (12, -raiz32).
Agora, precisamos expressar as coordenadas de cada ponto no novo sistema:
Coordenadas de B:(0, 0) (origem).
Coordenadas de C:BC é o vetor base x, então C = (1, 0).
Coordenadas de O:BO é o vetor base y, então O = (0, 1).
Para os demais pontos, usamos combinações dos vetores base:
Coordenadas de A: Sabemos que A = (-1, 0) no sistema original. Em relação a B, a distância de A a B é BA = A - B = (-1 + 12, 0 - raiz32) = (-12, -raiz32). Expressando em termos dos vetores base:
BA = -12 BC + (-raiz32) BO
Portanto, as coordenadas de A no novo sistema são (-12, -raiz32).
Coordenadas de D e E: Seguindo a mesma lógica, podemos determinar:
D = (12, -raiz32)
E = (12, raiz32)
Coordenadas de F: Similarmente, F = (-12, raiz32).
Passo 5
Parte (d): Sistema de coordenadas (B, BC, BE)
Por fim, temos o sistema de coordenadas (B, BC, BE). Novamente, a origem é B, mas os vetores base agora são BC e BE.
Primeiro, identificamos os vetores base:
BC: Já calculado anteriormente como (32, -raiz32).
BE: Vai de B para E. Se B = (-12, raiz32) e E = (12, -raiz32), então BE = E - B = (12 + 12, -raiz32 - raiz32) = (1, -raiz3).
Agora, vamos expressar as coordenadas dos pontos no novo sistema:
Coordenadas de B:(0, 0).
Coordenadas de C:BC é o vetor base x, então C = (1, 0).
Coordenadas de E:BE é o vetor base y, então E = (0, 1).
Para os demais pontos:
Coordenadas de O: Conhecemos que O = (0,0) no sistema original. Em relação a B, BO = (12, -raiz32). Expressando em termos dos vetores base:
BO = 13 BC + 13 BE
Portanto, as coordenadas de O no novo sistema são (13, 13).
Coordenadas de A: Usando a mesma lógica:
BA = -12 BC + 12 BE
Então, A = (-12, 12).
Coordenadas de D e F: Seguimos o mesmo processo:
D = (12, -12)
F = (-12, -12)
Resposta
As coordenadas dos pontos O, A, B, C, D, E e F nos diferentes sistemas de coordenadas são: