Considere um hexágono regular A B C D E F de centro O. Determine as coordenadas dos pontos O, A, B, C, D, E e F nos seguintes sistemas de coordenadas:
(a) (O, O C, O D)
(b) (O, O C, O E)
© (B, B C, B O)
(d) (B, B C, B E)

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um hexágono regular ABCDEF com centro em O. O desafio aqui é encontrar as coordenadas dos pontos O, A, B, C, D, E e F em diferentes sistemas de coordenadas que são especificados nas partes (a) a (d) do exercício. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre hexágonos regulares, vetores e sistemas de coordenadas. Vamos passo a passo!

Passo 2

Parte (a): Sistema de coordenadas (O, OC, OD)

Primeiro, vamos entender o sistema de coordenadas dado: (O, OC, OD). Isso significa que o ponto O é a origem, e os vetores OC e OD são os vetores base que vão definir os eixos x e y desse sistema.
Como o hexágono é regular, todos os lados e ângulos são iguais. Sabemos que em um hexágono regular, cada ângulo central (entre dois vetores de pontos consecutivos) é de 60^circ. Vamos assumir que o lado do hexágono tem comprimento 1 para simplificar os cálculos.
Vamos posicionar o ponto O na origem (0,0). Agora, precisamos determinar as coordenadas dos outros pontos usando os vetores OC e OD como base.
  • Coordenadas de O: (0, 0)
  • Coordenadas de C: Como OC é um dos vetores base, C fica na direção do eixo x. Então, C é (1, 0).
  • Coordenadas de D: OD é o segundo vetor base, que fica a 60^circ de OC. As coordenadas de D serão (cos 60^circ, sin 60^circ) = (12, raiz32).
Agora, usando a simetria do hexágono e as relações vetoriais, podemos determinar as coordenadas dos demais pontos:
  • Coordenadas de A: É simétrico a C em relação a O, então A = (-1, 0).
  • Coordenadas de B: Está a 60^circ de A, então B = (-12, raiz32).
  • Coordenadas de E: Simétrico a D, então E = (12, -raiz32).
  • Coordenadas de F: Simétrico a B, então F = (-12, -raiz32).

Passo 3

Parte (b): Sistema de coordenadas (O, OC, OE)

Agora, o sistema de coordenadas mudou: temos (O, OC, OE). Aqui, O ainda é a origem, OC continua como nosso eixo x, mas agora OE é o novo eixo y.
Sabendo que OE é simétrico a OD em relação ao eixo x, podemos dizer que OE = (12, -raiz32).
Vamos usar essas novas bases para recalcular as coordenadas:
  • Coordenadas de O: (0, 0)
  • Coordenadas de C: Idealmente no eixo x, então C = (1, 0).
  • Coordenadas de E: No eixo y, então E = (0, 1).
Usando a mesma lógica de simetria e relações vetoriais:
  • Coordenadas de A: Continua sendo (-1, 0).
  • Coordenadas de B: Como antes, B = (-12, raiz32).
  • Coordenadas de D: Simétrico a E, então D = (12, -raiz32).
  • Coordenadas de F: Simétrico a B, então F = (-12, -raiz32).

Passo 4

Parte ©: Sistema de coordenadas (B, BC, BO)

Agora o sistema de coordenadas muda completamente: a origem passa a ser o ponto B, e os vetores BC e BO serão nossos novos eixos x e y.
Primeiro, precisamos encontrar as coordenadas relativas dos outros pontos em relação a B.
Sabemos que:
  • BC: Vai de B para C. Se B = (-12, raiz32) e C = (1,0), então BC = C - B = (1 + 12, 0 - raiz32) = (32, -raiz32).
  • BO: Vai de B para O. Se O = (0,0), então BO = (0 - (-12), 0 - raiz32) = (12, -raiz32).
Agora, precisamos expressar as coordenadas de cada ponto no novo sistema:
  • Coordenadas de B: (0, 0) (origem).
  • Coordenadas de C: BC é o vetor base x, então C = (1, 0).
  • Coordenadas de O: BO é o vetor base y, então O = (0, 1).
Para os demais pontos, usamos combinações dos vetores base:
  • Coordenadas de A: Sabemos que A = (-1, 0) no sistema original. Em relação a B, a distância de A a B é BA = A - B = (-1 + 12, 0 - raiz32) = (-12, -raiz32). Expressando em termos dos vetores base:
    BA = -12 BC + (-raiz32) BO
    Portanto, as coordenadas de A no novo sistema são (-12, -raiz32).
  • Coordenadas de D e E: Seguindo a mesma lógica, podemos determinar:
    • D = (12, -raiz32)
    • E = (12, raiz32)
  • Coordenadas de F: Similarmente, F = (-12, raiz32).

Passo 5

Parte (d): Sistema de coordenadas (B, BC, BE)

Por fim, temos o sistema de coordenadas (B, BC, BE). Novamente, a origem é B, mas os vetores base agora são BC e BE.
Primeiro, identificamos os vetores base:
  • BC: Já calculado anteriormente como (32, -raiz32).
  • BE: Vai de B para E. Se B = (-12, raiz32) e E = (12, -raiz32), então BE = E - B = (12 + 12, -raiz32 - raiz32) = (1, -raiz3).
Agora, vamos expressar as coordenadas dos pontos no novo sistema:
  • Coordenadas de B: (0, 0).
  • Coordenadas de C: BC é o vetor base x, então C = (1, 0).
  • Coordenadas de E: BE é o vetor base y, então E = (0, 1).
Para os demais pontos:
  • Coordenadas de O: Conhecemos que O = (0,0) no sistema original. Em relação a B, BO = (12, -raiz32). Expressando em termos dos vetores base:
    BO = 13 BC + 13 BE
    Portanto, as coordenadas de O no novo sistema são (13, 13).
  • Coordenadas de A: Usando a mesma lógica:
    BA = -12 BC + 12 BE
    Então, A = (-12, 12).
  • Coordenadas de D e F: Seguimos o mesmo processo:
    • D = (12, -12)
    • F = (-12, -12)

Resposta

As coordenadas dos pontos O, A, B, C, D, E e F nos diferentes sistemas de coordenadas são:
a) Sistema (O, OC, OD)
  • O: (0, 0)
  • A: (-1, 0)
  • B: (-12, raiz32)
  • C: (1, 0)
  • D: (12, raiz32)
  • E: (12, -raiz32)
  • F: (-12, -raiz32)
b) Sistema (O, OC, OE)
  • O: (0, 0)
  • A: (-1, 0)
  • B: (-12, raiz32)
  • C: (1, 0)
  • D: (12, -raiz32)
  • E: (12, raiz32)
  • F: (-12, -raiz32)
c) Sistema (B, BC, BO)
  • B: (0, 0)
  • A: (-12, -raiz32)
  • C: (1, 0)
  • D: (12, -raiz32)
  • E: (12, raiz32)
  • F: (-12, raiz32)
  • O: (0, 1)
d) Sistema (B, BC, BE)
  • B: (0, 0)
  • A: (-12, 12)
  • C: (1, 0)
  • D: (12, -12)
  • E: (0, 1)
  • F: (-12, -12)
  • O: (13, 13)

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