Sejam
e
subespaços vetoriais de
. Mostre que
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de Álgebra Linear que pede para mostrar que todo polinômio de grau até 3 pode ser escrito de maneira única como a soma de um polinômio que zera em
e um polinômio constante. Os subespaços envolvidos são:
-
: Aqui, estamos falando dos polinômios de grau até 3 que passam por zero quando . -
: Esse subespaço é formado pelos polinômios cuja derivada é zero, ou seja, os polinômios constantes.
Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de subespaços vetoriais, soma direta de subespaços, e verificar se a soma
cobre todo o espaço
e se a interseção
é apenas o vetor nulo.
Passo 2
Primeiro, vamos mostrar que qualquer polinômio
em
pode ser escrito como a soma de um elemento de
e um elemento de
. Isso significa que
.
Vamos considerar um polinômio genérico de grau até 3:
Queremos expressar
como
, onde
e
.
Sabemos que
contém apenas polinômios constantes, então vamos definir:
onde
é uma constante que vamos determinar.
Como
, temos:
Para que
, precisamos que
:
Resolvendo para
:
Portanto, qualquer polinômio
pode ser decomposto como:
Assim, mostramos que qualquer
pode ser escrito como a soma de um polinômio em
e um polinômio constante em
.
Passo 3
Agora, precisamos garantir que essa decomposição seja única. Para isso, devemos verificar que a interseção
contém apenas o vetor nulo, ou seja, o único polinômio que está nos dois subespaços é o polinômio zero.
Vamos supor que existe um polinômio
que está em
e em
. Isso significa que:
-
(porque está em ) -
(porque está em )
A segunda condição
implica que
é constante, digamos
.
Substituindo na primeira condição:
Então, o único polinômio que satisfaz ambas as condições é o polinômio nulo
. Portanto,
.
Passo 4
Finalmente, recapitulando o que mostramos:
-
Soma dos subespaços: Qualquer polinômio de
pode ser escrito como a soma de um polinômio em e um polinômio constante em , ou seja, . -
Interseção trivial: A única coisa que
e têm em comum é o polinômio zero, ou seja, .
Quando a soma de dois subespaços é todo o espaço e a interseção deles é apenas o vetor nulo, dizemos que o espaço é a soma direta desses subespaços.
Resposta
Portanto, concluímos que
, ou seja, o espaço dos polinômios de grau até 3 é a soma direta de
e
.