Sejam W1=p(t) in P3(R) ; p(1)=0 e W2=q(t) in P3(R) ; q^prime(t)=0 subespaços vetoriais de P3(R). Mostre que P3(R)=W1 oplus W2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de Álgebra Linear que pede para mostrar que todo polinômio de grau até 3 pode ser escrito de maneira única como a soma de um polinômio que zera em e um polinômio constante. Os subespaços envolvidos são:
  • : Aqui, estamos falando dos polinômios de grau até 3 que passam por zero quando .
  • : Esse subespaço é formado pelos polinômios cuja derivada é zero, ou seja, os polinômios constantes.
Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de subespaços vetoriais, soma direta de subespaços, e verificar se a soma cobre todo o espaço e se a interseção é apenas o vetor nulo.

Passo 2

Primeiro, vamos mostrar que qualquer polinômio p(t) = at^3 + bt^2 + ct + d em w2(t) = k pode ser escrito como a soma de um elemento de w1(t) = at^3 + bt^2 + ct + d - k e um elemento de w1(1) = a(1)^3 + b(1)^2 + c(1) + d - k = a + b + c + d - k = 0 . Isso significa que k = a + b + c + d .
Vamos considerar um polinômio genérico de grau até 3:
p(t) = (at^3 + bt^2 + ct + d - (a + b + c + d)) + (a + b + c + d)
Queremos expressar p(t) = (at^3 + bt^2 + ct + d - a - b - c - d) + (a + b + c + d) como p(t) = a(t^3 - 1) + b(t^2 - 1) + c(t - 1) + d(1 - 1) + (a + b + c + d) , onde p(t) = a(t^3 - 1) + b(t^2 - 1) + c(t - 1) + (a + b + c + d) e .
Sabemos que contém apenas polinômios constantes, então vamos definir:
onde é uma constante que vamos determinar.
Como , temos:
Para que , precisamos que :
Resolvendo para :
Portanto, qualquer polinômio pode ser decomposto como:
Assim, mostramos que qualquer pode ser escrito como a soma de um polinômio em e um polinômio constante em .

Passo 3

Agora, precisamos garantir que essa decomposição seja única. Para isso, devemos verificar que a interseção p(1) = k = 0 contém apenas o vetor nulo, ou seja, o único polinômio que está nos dois subespaços é o polinômio zero.
Vamos supor que existe um polinômio que está em e em . Isso significa que:
  1. (porque está em )
  2. (porque está em )
A segunda condição implica que é constante, digamos .
Substituindo na primeira condição:
Então, o único polinômio que satisfaz ambas as condições é o polinômio nulo . Portanto, .

Passo 4

Finalmente, recapitulando o que mostramos:
  1. Soma dos subespaços: Qualquer polinômio de pode ser escrito como a soma de um polinômio em e um polinômio constante em , ou seja, .
  2. Interseção trivial: A única coisa que e têm em comum é o polinômio zero, ou seja, .
Quando a soma de dois subespaços é todo o espaço e a interseção deles é apenas o vetor nulo, dizemos que o espaço é a soma direta desses subespaços.

Resposta

Portanto, concluímos que , ou seja, o espaço dos polinômios de grau até 3 é a soma direta de e .

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