Sejam V e W espaços vetoriais sobre R, com as operações (+,) e(oplus, odot), respectivamente. Considere V X W=(x, y) ; x in V e y in W. Dados (x1, y1),(x2, y2) in V X W e alpha in R, definamos:
(x1, y1) oplus(x2, y2)=(x1+x2, y1+y2) alpha odot(x1, y1)=(alpha x1, alpha y1)
Mostre que VXW é um espaço vetorial real.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a questão está pedindo é para a gente mostrar que o conjunto , que é formado por pares ordenados onde está em e está em , é um espaço vetorial real. Isso significa que deve satisfazer todas as propriedades que definem um espaço vetorial. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são espaços vetoriais, as operações de adição e multiplicação por escalar definidas aí, e verificar uma a uma as propriedades que esses espaços devem ter.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um espaço vetorial. Um espaço vetorial sobre os números reais é um conjunto de elementos chamados vetores, que podem ser adicionados entre si e multiplicados por escalares (números reais), e que satisfazem certas propriedades como associatividade, comutatividade da adição, existência de um vetor zero, entre outras.
Aqui, (x1, y1) oplus (x2, y2) = (x1 + x2, y1 + y2) alpha odot (x1, y1) = (alpha x1, alpha y1) e são espaços vetoriais sobre , e estamos construindo um novo conjunto com operações definidas por:
Vamos verificar se essas operações fazem de um espaço vetorial.

Passo 3

Propriedade 1: Fechamento pela adição
Isso significa que se pegarmos dois elementos de e os adicionarmos usando , o resultado ainda está em .
Como e estão em , e é um espaço vetorial, também está em . Da mesma forma, está em . Portanto, está em . Então, está fechado pela adição.

Passo 4

Propriedade 2: Comutatividade da adição
Queremos mostrar que (x1 + x2, y1 + y2) = (x2 + x1, y2 + y1) .
Calculando:
Como a adição em e é comutativa, temos que e . Logo, a comutatividade da adição é satisfeita.

Passo 5

Propriedade 3: Associatividade da adição
Precisamos mostrar que:
[(x1, y1) oplus (x2, y2)] oplus (x3, y3) = (x1, y1) oplus [(x2, y2) oplus (x3, y3)]
Calculando o lado esquerdo:
[(x1 + x2, y1 + y2)] oplus (x3, y3) = (x1 + x2 + x3, y1 + y2 + y3)
E o lado direito:
(x1, y1) oplus [(x2 + x3, y2 + y3)] = (x1 + x2 + x3, y1 + y2 + y3)
Os dois lados são iguais, então a associatividade é satisfeita.

Passo 6

Propriedade 4: Existência do elemento neutro (vetor zero)
Devemos encontrar um elemento (x, y) oplus (0V, 0W) = (x + 0V, y + 0W) = (x, y) em tal que para qualquer :
Como e são espaços vetoriais, eles possuem vetores zero e . Assim, funciona como o vetor zero em .

Passo 7

Propriedade 5: Existência de inversos aditivos
Para cada (x, y) oplus (-x, -y) = (x + (-x), y + (-y)) = (0V, 0W) , deve existir tal que:
Como e têm inversos aditivos, e . Portanto, os inversos aditivos existem em .

Passo 8

Propriedade 6: Fechamento pela multiplicação por escalar
Queremos mostrar que se multiplicarmos alpha odot (x, y) = (alpha x, alpha y) por um escalar , o resultado ainda está em .
Como e são espaços vetoriais, e . Assim, está em .

Passo 9

Propriedade 7: Distribuição da multiplicação por escalar em rela��ão à adição de vetores
Devemos verificar que:
alpha odot [(x1, y1) oplus (x2, y2)] = alpha odot (x1, y1) oplus alpha odot (x2, y2)
Calculando o lado esquerdo:
alpha odot (x1 + x2, y1 + y2) = (alpha (x1 + x2), alpha (y1 + y2)) = (alpha x1 + alpha x2, alpha y1 + alpha y2)
E o lado direito:
(alpha x1, alpha y1) oplus (alpha x2, alpha y2) = (alpha x1 + alpha x2, alpha y1 + alpha y2)
Os dois lados são iguais, portanto a propriedade é satisfeita.

Passo 10

Propriedade 8: Distribuição da multiplicação por escalar em relação à adição de escalares
Precisamos mostrar que:
(alpha + beta) odot (x, y) = alpha odot (x, y) oplus beta odot (x, y)
Calculando o lado esquerdo:
(alpha + beta) odot (x, y) = ((alpha + beta)x, (alpha + beta)y) = (alpha x + beta x, alpha y + beta y)
E o lado direito:
(alpha x, alpha y) oplus (beta x, beta y) = (alpha x + beta x, alpha y + beta y)
Os dois lados são iguais, então a propriedade é satisfeita.

Passo 11

Propriedade 9: Associatividade da multiplicação por escalar
Devemos verificar que:
alpha odot (beta odot (x, y)) = (alpha beta) odot (x, y)
Calculando o lado esquerdo:
alpha odot (beta x, beta y) = (alpha (beta x), alpha (beta y)) = (alpha beta x, alpha beta y)
E o lado direito:
(alpha beta) odot (x, y) = ((alpha beta) x, (alpha beta) y)
Os dois lados são iguais, portanto a propriedade é satisfeita.

Passo 12

Propriedade 10: Elemento neutro da multiplicação por escalar
Finalmente, queremos mostrar que:
1 odot (x, y) = (x, y)
Calculando:
1 odot (x, y) = (1 cdot x, 1 cdot y) = (x, y)
Então, a propriedade é satisfeita.

Resposta

Concluímos que com as operações definidas é, de fato, um espaço vetorial real, já que satisfaz todas as propriedades necessárias de um espaço vetorial.

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