Sejam
e
espaços vetoriais sobre
, com as operações
, respectivamente. Considere
e
. Dados
e
, definamos:
Mostre que
é um espaço vetorial real.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a questão está pedindo é para a gente mostrar que o conjunto
, que é formado por pares ordenados
onde
está em
e
está em
, é um espaço vetorial real. Isso significa que
deve satisfazer todas as propriedades que definem um espaço vetorial. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são espaços vetoriais, as operações de adição e multiplicação por escalar definidas aí, e verificar uma a uma as propriedades que esses espaços devem ter.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um espaço vetorial. Um espaço vetorial sobre os números reais é um conjunto de elementos chamados vetores, que podem ser adicionados entre si e multiplicados por escalares (números reais), e que satisfazem certas propriedades como associatividade, comutatividade da adição, existência de um vetor zero, entre outras.
Aqui,
e
são espaços vetoriais sobre
, e estamos construindo um novo conjunto
com operações definidas por:
Vamos verificar se essas operações fazem de
um espaço vetorial.
Passo 3
Propriedade 1: Fechamento pela adição
Isso significa que se pegarmos dois elementos de
e os adicionarmos usando
, o resultado ainda está em
.
Como
e
estão em
, e
é um espaço vetorial,
também está em
. Da mesma forma,
está em
. Portanto,
está em
. Então,
está fechado pela adição.
Passo 4
Propriedade 2: Comutatividade da adição
Queremos mostrar que
.
Calculando:
Como a adição em
e
é comutativa, temos que
e
. Logo, a comutatividade da adição é satisfeita.
Passo 5
Propriedade 3: Associatividade da adição
Precisamos mostrar que:
Calculando o lado esquerdo:
E o lado direito:
Os dois lados são iguais, então a associatividade é satisfeita.
Passo 6
Propriedade 4: Existência do elemento neutro (vetor zero)
Devemos encontrar um elemento
em
tal que para qualquer
:
Como
e
são espaços vetoriais, eles possuem vetores zero
e
. Assim,
funciona como o vetor zero em
.
Passo 7
Propriedade 5: Existência de inversos aditivos
Para cada
, deve existir
tal que:
Como
e
têm inversos aditivos,
e
. Portanto, os inversos aditivos existem em
.
Passo 8
Propriedade 6: Fechamento pela multiplicação por escalar
Queremos mostrar que se multiplicarmos
por um escalar
, o resultado ainda está em
.
Como
e
são espaços vetoriais,
e
. Assim,
está em
.
Passo 9
Propriedade 7: Distribuição da multiplicação por escalar em rela��ão à adição de vetores
Devemos verificar que:
Calculando o lado esquerdo:
E o lado direito:
Os dois lados são iguais, portanto a propriedade é satisfeita.
Passo 10
Propriedade 8: Distribuição da multiplicação por escalar em relação à adição de escalares
Precisamos mostrar que:
Calculando o lado esquerdo:
E o lado direito:
Os dois lados são iguais, então a propriedade é satisfeita.
Passo 11
Propriedade 9: Associatividade da multiplicação por escalar
Devemos verificar que:
Calculando o lado esquerdo:
E o lado direito:
Os dois lados são iguais, portanto a propriedade é satisfeita.
Passo 12
Propriedade 10: Elemento neutro da multiplicação por escalar
Finalmente, queremos mostrar que:
Calculando:
Então, a propriedade é satisfeita.
Resposta
Concluímos que
com as operações definidas é, de fato, um espaço vetorial real, já que satisfaz todas as propriedades necessárias de um espaço vetorial.