Dados os pontos e .
(a) Determine o ponto tal que e sejam os vértices consecutivos de um paralelogramo.
(b) Determine o ponto médio entre e e o ponto médio entre e .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado nos dá três pontos no espaço: , e . Precisamos descobrir o ponto de forma que e formem os vértices consecutivos de um paralelogramo. Depois, vamos encontrar os pontos médios entre e , e entre e . Para isso, vamos utilizar conceitos de vetores e propriedades dos paralelogramos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que em um paralelogramo, os vetores dos lados opostos são iguais. Isso significa que o vetor deve ser igual ao vetor . Vamos calcular :
Passo 3
Agora que temos , sabemos que . Portanto:
Isso nos dá um sistema de equações para encontrar as coordenadas de :
Passo 4
Resolvendo o sistema:
Dx = 1 + 1 = 2 Dy = 0 + 0 = 0 Dz = 1 + 1 = 2
Portanto, as coordenadas de são .
Passo 5
Agora, vamos para a parte (b). Precisamos encontrar o ponto médio entre M = ( x1 + x22, y1 + y22, z1 + z22 ) e , e o ponto médio entre e . A fórmula para o ponto médio entre dois pontos e é:
Passo 6
Primeiro, vamos calcular o ponto médio entre MAC = ( 1 + 02, 0 + 12, 1 + 22 ) = ( 12, 12, 32 ) e :
Passo 7
Agora, vamos calcular o ponto médio entre MBD = ( -1 + 22, 1 + 02, 1 + 22 ) = ( 12, 12, 32 ) e :
Resposta
(a) O ponto é .
(b) O ponto médio entre e é e o ponto médio entre e também é .