Dados os pontos A=(1,0,1), B=(-1,1,1) e C=(0,1,2).
(a) Determine o ponto D tal que A, B, C e D sejam os vértices consecutivos de um paralelogramo.
(b) Determine o ponto médio entre A e C e o ponto médio entre B e D.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado nos dá três pontos no espaço: , e . Precisamos descobrir o ponto de forma que e formem os vértices consecutivos de um paralelogramo. Depois, vamos encontrar os pontos médios entre e , e entre e . Para isso, vamos utilizar conceitos de vetores e propriedades dos paralelogramos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que em um paralelogramo, os vetores dos lados opostos são iguais. Isso significa que o vetor BC = C - B = (0 - (-1), 1 - 1, 2 - 1) = (1, 0, 1) deve ser igual ao vetor . Vamos calcular :

Passo 3

Agora que temos AD = D - A = (Dx - 1, Dy - 0, Dz - 1) = (1, 0, 1) , sabemos que Dx - 1 = 1 Dy - 0 = 0 Dz - 1 = 1 . Portanto:
Isso nos dá um sistema de equações para encontrar as coordenadas de :

Passo 4

Resolvendo o sistema:
Dx = 1 + 1 = 2 Dy = 0 + 0 = 0 Dz = 1 + 1 = 2
Portanto, as coordenadas de são .

Passo 5

Agora, vamos para a parte (b). Precisamos encontrar o ponto médio entre M = ( x1 + x22, y1 + y22, z1 + z22 ) e , e o ponto médio entre e . A fórmula para o ponto médio entre dois pontos e é:

Passo 6

Primeiro, vamos calcular o ponto médio entre MAC = ( 1 + 02, 0 + 12, 1 + 22 ) = ( 12, 12, 32 ) e :

Passo 7

Agora, vamos calcular o ponto médio entre MBD = ( -1 + 22, 1 + 02, 1 + 22 ) = ( 12, 12, 32 ) e :

Resposta

(a) O ponto é .
(b) O ponto médio entre e é e o ponto médio entre e também é .

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