Seja Pn(R) o espaço linear de todos os polinômios reais de variável real e de grau menor ou igual a n, com as operações usuais. Diga quais dos seguintes subconjuntos de P2, com as operações usuais, são subespaços de P2(R).
a) W=a0+a1 t+a2 t^2 in P2(R) ; a0=0.
b) W=a0+a1 t+a2 t^2 in P2(R) ; a1=1.
c) W=a0+a1 t+a2 t^2 in P2(R) ; a2-a1+2 a0=0.
d) W=a0+a1 t+a2 t^2 in P2(R) ; a2-a1=2.
e) W=a0+a1 t+a2 t^2 in P2(R) ; a2=2 a0 e a1=0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício está pedindo para a gente verificar quais dos subconjuntos listados de são, de fato, subespaços desse espaço. é o conjunto de todos os polinômios de grau até 2 com coeficientes reais. Para resolver, vamos lembrar que, para um subconjunto ser um subespaço, ele precisa satisfazer três condições:
  1. Contém o vetor zero (no caso, o polinômio zero).
  2. É fechado sob adição (somar dois elementos do subconjunto ainda resulta em um elemento do subconjunto).
  3. É fechado sob multiplicação por escalar (multiplicar um elemento do subconjunto por qualquer número real ainda pertence ao subconjunto).
Vamos analisar cada opção com base nessas condições.

Passo 2

a)
  • Contém o vetor zero? Se , e podem ser zero, então está em .
  • Fechado sob adição? Se temos dois polinômios e , somando temos , onde o coeficiente constante ainda é zero.
  • Fechado sob multiplicação por escalar? Se multiplicamos por um escalar , temos , mantendo .
Portanto, é um subespaço de .

Passo 3

b)
  • Contém o vetor zero? O polinômio zero tem , mas aqui deve ser 1. Então, o vetor zero não está em .
Como uma das condições (contém o vetor zero) já não é satisfeita, não é um subespaço.

Passo 4

c)
  • Contém o vetor zero? Para o polinômio zero, . Verificando a condição: , então o zero está em .
  • Fechado sob adição? Se e estão em , então:
    • Somando, , então também satisfaz a condição.
  • Fechado sob multiplicação por escalar? Para um escalar e :
    • , então também está em .
Portanto, é um subespaço de .

Passo 5

d)
  • Contém o vetor zero? Para o polinômio zero, , mas aqui precisa ser igual a 2. Então, o vetor zero não está em .
Como o vetor zero não está, não é um subespaço.

Passo 6

e)
  • Contém o vetor zero? Se e , para o vetor zero satisfaz, então o zero está em .
  • Fechado sob adição? Se e , então , que ainda satisfaz e .
  • Fechado sob multiplicação por escalar? Para um escalar e , temos , mantendo e .
Portanto, é um subespaço de .

Resposta

Os subconjuntos que são subespaços de são:
  • a) Sim.
  • c) Sim.
  • e) Sim.
Os subconjuntos b) e d) não são subespaços.

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