Seja
o espaço linear de todos os polinômios reais de variável real e de grau menor ou igual a n, com as operações usuais. Diga quais dos seguintes subconjuntos de
, com as operações usuais, são subespaços de
.
a)
.
b)
.
c)
.
d)
.
e)
e
.
a)
b)
c)
d)
e)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício está pedindo para a gente verificar quais dos subconjuntos listados de
são, de fato, subespaços desse espaço.
é o conjunto de todos os polinômios de grau até 2 com coeficientes reais. Para resolver, vamos lembrar que, para um subconjunto ser um subespaço, ele precisa satisfazer três condições:
- Contém o vetor zero (no caso, o polinômio zero).
- É fechado sob adição (somar dois elementos do subconjunto ainda resulta em um elemento do subconjunto).
- É fechado sob multiplicação por escalar (multiplicar um elemento do subconjunto por qualquer número real ainda pertence ao subconjunto).
Vamos analisar cada opção com base nessas condições.
Passo 2
a)
- Contém o vetor zero? Se
, e podem ser zero, então está em . - Fechado sob adição? Se temos dois polinômios
e , somando temos , onde o coeficiente constante ainda é zero. - Fechado sob multiplicação por escalar? Se multiplicamos
por um escalar , temos , mantendo .
Portanto,
é um subespaço de
.
Passo 3
b)
- Contém o vetor zero? O polinômio zero tem
, mas aqui deve ser 1. Então, o vetor zero não está em .
Como uma das condições (contém o vetor zero) já não é satisfeita,
não é um subespaço.
Passo 4
c)
- Contém o vetor zero? Para o polinômio zero,
. Verificando a condição: , então o zero está em . - Fechado sob adição? Se
e estão em , então: -
-
- Somando,
, então também satisfaz a condição.
-
- Fechado sob multiplicação por escalar? Para um escalar
e : -
, então também está em .
-
Portanto,
é um subespaço de
.
Passo 5
d)
- Contém o vetor zero? Para o polinômio zero,
, mas aqui precisa ser igual a 2. Então, o vetor zero não está em .
Como o vetor zero não está,
não é um subespaço.
Passo 6
e)
- Contém o vetor zero? Se
e , para o vetor zero satisfaz, então o zero está em . - Fechado sob adição? Se
e , então , que ainda satisfaz e . - Fechado sob multiplicação por escalar? Para um escalar
e , temos , mantendo e .
Portanto,
é um subespaço de
.
Resposta
Os subconjuntos que são subespaços de
são:
- a) Sim.
- c) Sim.
- e) Sim.
Os subconjuntos b) e d) não são subespaços.