Considere a hipérbole de equação
Determine
a) As coordenadas de seus vértices e .
b) As coordenadas de seus focos e .
c) As equações de suas assíntotas e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de hipérbole juntos! A gente tem a equação . Nosso objetivo aqui é encontrar as coordenadas dos vértices, dos focos e as equações das assíntotas dessa hipérbole. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, como completar o quadrado e identificar parâmetros importantes da hipérbole.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação da hipérbole agrupando os termos de e de :
Aqui, estamos separando os termos de e de para facilitar o próximo passo.

Passo 3

Agora, vamos completar o quadrado para os termos de e de . Completar o quadrado nos ajuda a transformar a equação geral em uma forma padrão mais fácil de analisar.
Para :
Para :
Primeiro, vamos tirar o fator comum de nos termos de :

Passo 4

Substituindo essas expressões na equação original, temos:
Vamos simplificar:
Para facilitar, dividimos todos os termos por :

Passo 5

Agora, temos a equação da hipérbole na forma padrão:
Comparando com a nossa equação:
  • Centro
  • então
  • então

Passo 6

Como a hipérbole está na forma , ela abre verticalmente. Os vértices estão a uma distância do centro ao longo do eixo vertical.
Então, os vértices são:

Passo 7

Para encontrar os focos, precisamos calcular , onde .
Os focos também estão a uma distância do centro ao longo do eixo vertical:

Passo 8

As assíntotas de uma hipérbole que abre verticalmente têm equações da forma:
Substituindo os valores que encontramos:
Então, as equações das assíntotas são:

Resposta

a) Vértices: e
b) Focos: e
c) Assíntotas: e

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