Considere a hipérbole de equação
x^2-4 y^2-4 x+24 y-28=0
Determine
a) As coordenadas de seus vértices A 1 e A 2.
b) As coordenadas de seus focos F 1 e F 2.
c) As equações de suas assíntotas l 1 e l 2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de hipérbole juntos! A gente tem a equação x^2-4 y^2-4 x+24 y-28=0. Nosso objetivo aqui é encontrar as coordenadas dos vértices, dos focos e as equações das assíntotas dessa hipérbole. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, como completar o quadrado e identificar parâmetros importantes da hipérbole.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação da hipérbole agrupando os termos de x e de y:
x^2 - 4x - 4y^2 + 24y = 28
Aqui, estamos separando os termos de x e de y para facilitar o próximo passo.

Passo 3

Agora, vamos completar o quadrado para os termos de x e de y. Completar o quadrado nos ajuda a transformar a equação geral em uma forma padrão mais fácil de analisar.
Para x:
x^2 - 4x = (x^2 - 4x + 4) - 4 = (x - 2)^2 - 4
Para y:
Primeiro, vamos tirar o fator comum de -4 nos termos de y:
-4(y^2 - 6y) = -4[(y^2 - 6y + 9) - 9] = -4(y - 3)^2 + 36

Passo 4

Substituindo essas expressões na equação original, temos:
(x - 2)^2 - 4 - 4(y - 3)^2 + 36 = 28
Vamos simplificar:
(x - 2)^2 - 4(y - 3)^2 + 32 = 28
(x - 2)^2 - 4(y - 3)^2 = -4
Para facilitar, dividimos todos os termos por -4:
(y - 3)^21 - (x - 2)^24 = 1

Passo 5

Agora, temos a equação da hipérbole na forma padrão:
(y - k)^2a^2 - (x - h)^2b^2 = 1
Comparando com a nossa equação:
  • Centro (h, k) = (2, 3)
  • a^2 = 1 então a = 1
  • b^2 = 4 então b = 2

Passo 6

Como a hipérbole está na forma (y - k)^2a^2 - (x - h)^2b^2 = 1, ela abre verticalmente. Os vértices estão a uma distância a do centro ao longo do eixo vertical.
Então, os vértices são:
A1 = (h, k + a) = (2, 3 + 1) = (2, 4)
A2 = (h, k - a) = (2, 3 - 1) = (2, 2)

Passo 7

Para encontrar os focos, precisamos calcular c, onde c^2 = a^2 + b^2.
c^2 = 1 + 4 = 5 Rightarrow c = raiz5
Os focos também estão a uma distância c do centro ao longo do eixo vertical:
F1 = (h, k + c) = (2, 3 + raiz5)
F2 = (h, k - c) = (2, 3 - raiz5)

Passo 8

As assíntotas de uma hipérbole que abre verticalmente têm equações da forma:
y = k pm ab(x - h)
Substituindo os valores que encontramos:
y = 3 pm 12(x - 2)
Então, as equações das assíntotas são:
l1: y = 12x + 2
l2: y = -12x + 4

Resposta

a) Vértices: A1 = (2, 4) e A2 = (2, 2)
b) Focos: F1 = (2, 3 + raiz5) e F2 = (2, 3 - raiz5)
c) Assíntotas: l1: y = 12x + 2 e l2: y = -12x + 4

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