Considere a hipérbole de equação
Determine
a) As coordenadas de seus vértices
e
.
b) As coordenadas de seus focos
e
.
c) As equações de suas assíntotas
e
.
a) As coordenadas de seus vértices
b) As coordenadas de seus focos
c) As equações de suas assíntotas
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de hipérbole juntos! A gente tem a equação
. Nosso objetivo aqui é encontrar as coordenadas dos vértices, dos focos e as equações das assíntotas dessa hipérbole. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, como completar o quadrado e identificar parâmetros importantes da hipérbole.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação da hipérbole agrupando os termos de
e de
:
Aqui, estamos separando os termos de
e de
para facilitar o próximo passo.
Passo 3
Agora, vamos completar o quadrado para os termos de
e de
. Completar o quadrado nos ajuda a transformar a equação geral em uma forma padrão mais fácil de analisar.
Para
:
Para
:
Primeiro, vamos tirar o fator comum de nos termos de
:
Primeiro, vamos tirar o fator comum de
Passo 4
Substituindo essas expressões na equação original, temos:
Vamos simplificar:
Para facilitar, dividimos todos os termos por
:
Passo 5
Agora, temos a equação da hipérbole na forma padrão:
Comparando com a nossa equação:
- Centro
-
então -
então
Passo 6
Como a hipérbole está na forma
, ela abre verticalmente. Os vértices estão a uma distância
do centro ao longo do eixo vertical.
Então, os vértices são:
Passo 7
Para encontrar os focos, precisamos calcular
, onde
.
Os focos também estão a uma distância
do centro ao longo do eixo vertical:
Passo 8
As assíntotas de uma hipérbole que abre verticalmente têm equações da forma:
Substituindo os valores que encontramos:
Então, as equações das assíntotas são:
Resposta
a) Vértices:
e
b) Focos: e
c) Assíntotas: e
b) Focos:
c) Assíntotas: