Considere uma hipérbole H centrada na origem (0,0), com focos em um dos eixos coordenados e que contenha os pontos E=(6, raiz7) e F=(-1,0). Escreva a equação reduzida de H e determine os focos e os vértices.

Passo 1

Beleza, então temos uma hipérbole centrada na origem , com focos em um dos eixos coordenados. Ela passa pelos pontos e . Nosso objetivo é encontrar a equação reduzida dessa hipérbole e determinar seus focos e vértices. Para isso, vamos precisar lembrar um pouco sobre as propriedades das hipérboles e como elas se relacionam com suas equações.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a equação reduzida de uma hipérbole centrada na origem pode estar orientada no eixo x ou no eixo y. As duas formas são:
  • Eixo x:
  • Eixo y:
Aqui, é a distância dos vértices ao centro, e está relacionado à distância dos “semi-eixos”.

Passo 3

Como os focos estão em um dos eixos coordenados, vamos verificar em qual eixo eles estão. Observando o ponto x^2a^2 - y^2b^2 = 1 , vemos que ele está no eixo x. Isso indica que os focos estão no eixo x, então a hipérbole está orientada ao longo do eixo x. Portanto, usaremos a equação:

Passo 4

Sabemos que os focos de uma hipérbole centrada na origem e orientada no eixo x estão localizados em , onde . Dado que um dos focos é , temos .

Passo 5

Agora, vamos usar o ponto 6^2a^2 - (raiz7)^2b^2 = 1 36a^2 - 7b^2 = 1 que pertence à hipérbole para encontrar os valores de e . Substituímos e na equação da hipérbole:

Passo 6

Lembrando que 1^2 = a^2 + b^2 1 = a^2 + b^2 e 36a^2 - 7b^2 = 1 a^2 + b^2 = 1 , temos:
Agora temos um sistema de duas equações:

Passo 7

Vamos resolver esse sistema. Primeiro, da segunda equação:
b^2 = 1 - a^2
Substituímos 36a^2 - 71 - a^2 = 1 na primeira equação:

Passo 8

Resolvendo a equação:
36a^2 - 71 - a^2 = 1
Multiplicamos todos os termos por 36(1 - a^2) - 7a^2 = a^2(1 - a^2) 36 - 36a^2 - 7a^2 = a^2 - a^4 36 - 43a^2 = a^2 - a^4 para eliminar os denominadores:
a^4 - 44a^2 + 36 = 0
Reorganizando os termos:

Passo 9

Vamos resolver a equação quadrática em a^4 - 44a^2 + 36 = 0 Deixe u = a^2: u^2 - 44u + 36 = 0 :
u = 44 pm raiz44^2 - 4 cdot 1 cdot 362 u = 44 pm raiz1936 - 1442 u = 44 pm raiz17922 u = 44 pm 16raiz72 u = 22 pm 8raiz7
Usando a fórmula de Bhaskara:
a^2 = 22 + 8raiz7 ou a^2 = 22 - 8raiz7
Assim,
Considerando que deve ser positivo, ambas as soluções são válidas.

Passo 10

Usando b^2 = 1 - a^2 = 1 - (22 + 8raiz7) = -21 - 8raiz7 , encontramos a^2 = 22 - 8raiz7 :
b^2 = 1 - (22 - 8raiz7) = -21 + 8raiz7
Isso não faz sentido, pois -21 + 8raiz7 approx -21 + 21.17 = 0.17 > 0 não pode ser negativo. Portanto, descartamos essa solução.
Assim, temos:
E então:
Ainda assim, deve ser positivo:

Passo 11

Agora que temos x^222 - 8raiz7 - y^2-21 + 8raiz7 = 1 e x^222 - 8raiz7 - y^28raiz7 - 21 = 1 , a equação reduzida da hipérbole é:
Simplificando, já que o denominador negativo pode ser ajustado:

Passo 12

Agora, determinamos os focos e vértices. Como a hipérbole está orientada no eixo x:
  • Vértices:
  • Focos: , onde
Portanto:
  • Vértices:
  • Focos: (já conhecido)

Resposta

A equação reduzida da hipérbole x^222 - 8raiz7 - y^28raiz7 - 21 = 1 é:
Os focos estão em e os vértices estão em .

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