Considere uma hipérbole
centrada na origem
, com focos em um dos eixos coordenados e que contenha os pontos
e
. Escreva a equação reduzida de
e determine os focos e os vértices.
Passo 1
Beleza, então temos uma hipérbole
centrada na origem
, com focos em um dos eixos coordenados. Ela passa pelos pontos
e
. Nosso objetivo é encontrar a equação reduzida dessa hipérbole e determinar seus focos e vértices. Para isso, vamos precisar lembrar um pouco sobre as propriedades das hipérboles e como elas se relacionam com suas equações.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a equação reduzida de uma hipérbole centrada na origem pode estar orientada no eixo x ou no eixo y. As duas formas são:
- Eixo x:
- Eixo y:
Aqui,
é a distância dos vértices ao centro, e
está relacionado à distância dos “semi-eixos”.
Passo 3
Como os focos estão em um dos eixos coordenados, vamos verificar em qual eixo eles estão. Observando o ponto
, vemos que ele está no eixo x. Isso indica que os focos estão no eixo x, então a hipérbole está orientada ao longo do eixo x. Portanto, usaremos a equação:
Passo 4
Sabemos que os focos de uma hipérbole centrada na origem e orientada no eixo x estão localizados em
, onde
. Dado que um dos focos é
, temos
.
Passo 5
Agora, vamos usar o ponto
que pertence à hipérbole para encontrar os valores de
e
. Substituímos
e
na equação da hipérbole:
Passo 6
Lembrando que
e
, temos:
Agora temos um sistema de duas equações:
Passo 7
Vamos resolver esse sistema. Primeiro, da segunda equação:
Substituímos
na primeira equação:
Passo 8
Resolvendo a equação:
Multiplicamos todos os termos por
para eliminar os denominadores:
Reorganizando os termos:
Passo 9
Vamos resolver a equação quadrática em
:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Assim,
Considerando que
deve ser positivo, ambas as soluções são válidas.
Passo 10
Usando
, encontramos
:
Isso não faz sentido, pois
não pode ser negativo. Portanto, descartamos essa solução.
Assim, temos:
E então:
Ainda assim,
deve ser positivo:
Passo 11
Agora que temos
e
, a equação reduzida da hipérbole é:
Simplificando, já que o denominador negativo pode ser ajustado:
Passo 12
Agora, determinamos os focos e vértices. Como a hipérbole está orientada no eixo x:
- Vértices:
- Focos:
, onde
Portanto:
- Vértices:
- Focos:
(já conhecido)
Resposta
A equação reduzida da hipérbole
é:
Os focos estão em
e os vértices estão em
.
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. Represente graficamente o plano
.
Considere a equação geral do plano
.
Verifique se os pontos e
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Para quais valores da constante
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não tem solução? Tem exatamente uma solução? E tem infinitas soluções? Explique o seu raciocínio.
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