Considere uma hipérbole centrada na origem , com focos em um dos eixos coordenados e que contenha os pontos e . Escreva a equação reduzida de e determine os focos e os vértices.

Passo 1

Beleza, então temos uma hipérbole centrada na origem , com focos em um dos eixos coordenados. Ela passa pelos pontos e . Nosso objetivo é encontrar a equação reduzida dessa hipérbole e determinar seus focos e vértices. Para isso, vamos precisar lembrar um pouco sobre as propriedades das hipérboles e como elas se relacionam com suas equações.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a equação reduzida de uma hipérbole centrada na origem pode estar orientada no eixo x ou no eixo y. As duas formas são:
  • Eixo x:
  • Eixo y:
Aqui, é a distância dos vértices ao centro, e está relacionado à distância dos “semi-eixos”.

Passo 3

Como os focos estão em um dos eixos coordenados, vamos verificar em qual eixo eles estão. Observando o ponto , vemos que ele está no eixo x. Isso indica que os focos estão no eixo x, então a hipérbole está orientada ao longo do eixo x. Portanto, usaremos a equação:

Passo 4

Sabemos que os focos de uma hipérbole centrada na origem e orientada no eixo x estão localizados em , onde . Dado que um dos focos é , temos .

Passo 5

Agora, vamos usar o ponto que pertence à hipérbole para encontrar os valores de e . Substituímos e na equação da hipérbole:

Passo 6

Lembrando que e , temos:
Agora temos um sistema de duas equações:

Passo 7

Vamos resolver esse sistema. Primeiro, da segunda equação:
Substituímos na primeira equação:

Passo 8

Resolvendo a equação:
Multiplicamos todos os termos por para eliminar os denominadores:
Reorganizando os termos:

Passo 9

Vamos resolver a equação quadrática em :
Usando a fórmula de Bhaskara:
Assim,
Considerando que deve ser positivo, ambas as soluções são válidas.

Passo 10

Usando , encontramos :
Isso não faz sentido, pois não pode ser negativo. Portanto, descartamos essa solução.
Assim, temos:
E então:
Ainda assim, deve ser positivo:

Passo 11

Agora que temos e , a equação reduzida da hipérbole é:
Simplificando, já que o denominador negativo pode ser ajustado:

Passo 12

Agora, determinamos os focos e vértices. Como a hipérbole está orientada no eixo x:
  • Vértices:
  • Focos: , onde
Portanto:
  • Vértices:
  • Focos: (já conhecido)

Resposta

A equação reduzida da hipérbole é:
Os focos estão em e os vértices estão em .

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