Para quais valores da constante
o sistema:
não tem solução? Tem exatamente uma solução? E tem infinitas soluções? Explique o seu raciocínio.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um sistema de equações lineares assim:
O que a gente precisa descobrir é para quais valores de
esse sistema não tem solução, tem exatamente uma solução ou tem infinitas soluções. Vamos usar conceitos de sistemas lineares para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa cada caso:
- Nenhuma solução: As duas retas representadas pelas equações são paralelas e nunca se encontram.
- Exatamente uma solução: As duas retas se cruzam em exatamente um ponto.
- Infinitas soluções: As duas equações representam a mesma reta, então todo ponto nela é solução.
Passo 3
Agora, vamos analisar as duas equações do sistema:
- Primeira Equação:
- Segunda Equação:
Perceba que a segunda equação é simplesmente a primeira multiplicada por 2:
Então, se compararmos com a segunda equação original
, vemos que para que as duas equações sejam equivalentes (ou seja, representem a mesma reta),
precisa ser igual a 6.
Passo 4
Vamos considerar os diferentes casos para
:
-
Se
: - As duas equações se tornam equivalentes:
- Isso significa que as duas retas são a mesma, portanto, há infinitas soluções.
- As duas equações se tornam equivalentes:
-
Se
: - A segunda equação não é múltipla da primeira:
- Isso resulta em duas retas paralelas que nunca se encontram, ou seja, não há solução.
- A segunda equação não é múltipla da primeira:
-
Exatamente uma solução:
- Nesse caso específico, não há valores de
que resultem em exatamente uma solução. Isso acontece porque as equações são lineares e estão diretamente relacionadas (uma é múltiplo da outra), então ou são coincidentes (infinitas soluções) ou são paralelas e distintas (nenhuma solução).
- Nesse caso específico, não há valores de
Resposta
- Não tem solução quando
. - Infinitas soluções quando
. - Nunca tem exatamente uma solução para qualquer valor de
.