não tem solução? Tem exatamente uma solução? E tem infinitas soluções? Explique o seu raciocínio.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um sistema de equações lineares assim:
O que a gente precisa descobrir é para quais valores de esse sistema não tem solução, tem exatamente uma solução ou tem infinitas soluções. Vamos usar conceitos de sistemas lineares para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa cada caso:
Nenhuma solução: As duas retas representadas pelas equações são paralelas e nunca se encontram.
Exatamente uma solução: As duas retas se cruzam em exatamente um ponto.
Infinitas soluções: As duas equações representam a mesma reta, então todo ponto nela é solução.
Passo 3
Agora, vamos analisar as duas equações do sistema:
Primeira Equação:
Segunda Equação:
Perceba que a segunda equação é simplesmente a primeira multiplicada por 2:
Então, se compararmos com a segunda equação original , vemos que para que as duas equações sejam equivalentes (ou seja, representem a mesma reta), precisa ser igual a 6.
Passo 4
Vamos considerar os diferentes casos para :
Se :
As duas equações se tornam equivalentes:
Isso significa que as duas retas são a mesma, portanto, há infinitas soluções.
Se :
A segunda equação não é múltipla da primeira:
Isso resulta em duas retas paralelas que nunca se encontram, ou seja, não há solução.
Exatamente uma solução:
Nesse caso específico, não há valores de que resultem em exatamente uma solução. Isso acontece porque as equações são lineares e estão diretamente relacionadas (uma é múltiplo da outra), então ou são coincidentes (infinitas soluções) ou são paralelas e distintas (nenhuma solução).
Resposta
Não tem solução quando .
Infinitas soluções quando .
Nunca tem exatamente uma solução para qualquer valor de .