Para quais valores da constante k o sistema:
ccc x-y & = & 3 2 x-2 y & = & k
não tem solução? Tem exatamente uma solução? E tem infinitas soluções? Explique o seu raciocínio.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um sistema de equações lineares assim:
ccc x - y & = & 3 2x - 2y & = & k
O que a gente precisa descobrir é para quais valores de esse sistema não tem solução, tem exatamente uma solução ou tem infinitas soluções. Vamos usar conceitos de sistemas lineares para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa cada caso:
  1. Nenhuma solução: As duas retas representadas pelas equações são paralelas e nunca se encontram.
  2. Exatamente uma solução: As duas retas se cruzam em exatamente um ponto.
  3. Infinitas soluções: As duas equações representam a mesma reta, então todo ponto nela é solução.

Passo 3

Agora, vamos analisar as duas equações do sistema:
  1. Primeira Equação: 2(x - y) = 2x - 2y = 6
  2. Segunda Equação:
Perceba que a segunda equação é simplesmente a primeira multiplicada por 2:
Então, se compararmos com a segunda equação original , vemos que para que as duas equações sejam equivalentes (ou seja, representem a mesma reta), precisa ser igual a 6.

Passo 4

Vamos considerar os diferentes casos para x - y = 3 2x - 2y = 6 :
  1. Se 2x - 2y = k com k neq 6 :
    • As duas equações se tornam equivalentes:
    • Isso significa que as duas retas são a mesma, portanto, há infinitas soluções.
  2. Se :
    • A segunda equação não é múltipla da primeira:
    • Isso resulta em duas retas paralelas que nunca se encontram, ou seja, não há solução.
  3. Exatamente uma solução:
    • Nesse caso específico, não há valores de que resultem em exatamente uma solução. Isso acontece porque as equações são lineares e estão diretamente relacionadas (uma é múltiplo da outra), então ou são coincidentes (infinitas soluções) ou são paralelas e distintas (nenhuma solução).

Resposta

  • Não tem solução quando .
  • Infinitas soluções quando .
  • Nunca tem exatamente uma solução para qualquer valor de .

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