Nos itens abaixo, faça operações nas linhas das matrizes até obter uma matriz LRFE.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você nos deu uma matriz e precisa transformá-la em uma Matriz de Linha Reduzida Escalonada (LRFE) usando operações nas linhas. Isso envolve usar operações elementares de linha para organizar a matriz de um jeito específico. Para isso, vamos precisar entender e aplicar operações como trocar linhas, multiplicar uma linha por um número diferente de zero e somar múltiplos de uma linha a outra.
Passo 2
Primeiro, olhamos para a matriz inicial:
O objetivo é obter pivôs (números 1 que aparecem primeiro em cada linha) de maneira ordenada e zeros abaixo e acima desses pivôs.
Passo 3
Começamos pela primeira coluna. Já temos um 1 na posição (1,1), então não precisamos trocar linhas. Agora, precisamos garantir que abaixo desse 1, todos os outros números na primeira coluna sejam zero. Observando as linhas abaixo, já estão com zeros nessa coluna, então podemos seguir em frente.
Passo 4
Agora, vamos para a segunda coluna. Notamos que a posição (2,2) é zero, mas precisamos de um 1 lá para ser nosso pivô. Olhando para as linhas abaixo, todas também têm zero na segunda coluna. Isso significa que a segunda coluna não terá um pivô, então vamos passar para a próxima coluna.
Passo 5
Na terceira coluna, temos um 1 na posição (2,3), que será nosso pivô. Vamos usar esse 1 para zerar os elementos acima e abaixo dele na mesma coluna.
Primeiro, vamos zerar o -2 na posição (1,3). Para isso, adicionamos 2 vezes a segunda linha à primeira linha:
Linha 1 = Linha 1 + 2 × Linha 2
Passo 6
Na quarta coluna, temos um 1 na posição (3,4). Esse será nosso próximo pivô. Vamos usá-lo para zerar os elementos acima e abaixo dele na quarta coluna.
Primeiro, vamos zerar os 2 na posição (1,4). Para isso, subtraímos 2 vezes a terceira linha da primeira linha:
Linha 1 = Linha 1 - 2 × Linha 3
Agora, vamos zerar o -2 na posição (4,4). Para isso, adicionamos 2 vezes a terceira linha à quarta linha:
Linha 4 = Linha 4 + 2 × Linha 3
Passo 7
Agora, vamos organizar as equações para que fiquem na forma reduzida. Observamos que a quarta linha é toda zero, então vamos focar nas três primeiras linhas que têm pivôs.
A matriz já está em Forma de Escalonamento, mas para ficar na Forma de Linha Reduzida Escalonada, precisamos zerar os elementos acima de cada pivô.
Passo 8
Vamos começar com o pivô na terceira coluna (posição (2,3)). Vamos zerar o elemento acima dele na posição (1,3). Porém, já está zero, então seguimos para o próximo pivô.
Agora, olhamos para o pivô na quarta coluna (posição (3,4)). Vamos zerar os elementos acima dele na posição (2,4) e (1,4).
Primeiro, zeramos o 1 na posição (2,4) subtraindo a terceira linha da segunda linha:
Linha 2 = Linha 2 - Linha 3
Passo 9
Por fim, vamos zerar os elementos acima dos pivôs. Olhando para a segunda coluna, não temos um pivô lá, então podemos deixar como está.
Assim, a matriz está agora na Forma de Linha Reduzida Escalonada.