Considere
, onde
é a região limitada por
e
.
Calcule
.
Calcule
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntinho! A gente precisa calcular a integral dupla
, onde a região
é limitada por
,
e
. Aqui, estamos trabalhando com cálculo de integrais duplas, e vamos precisar entender como definir os limites de integração para a região
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região
. Temos as curvas
,
(que é o eixo y) e
. Vamos desenhar isso para visualizar melhor.
-
é o eixo y. -
é uma linha horizontal que corta o eixo y no ponto . -
é uma curva logarítmica que passa por porque .
Então, a região
está entre
e
, de
até
(já que
, que é onde a curva corta o eixo x).
Passo 3
Agora, vamos configurar a integral dupla. Podemos integrar primeiro em relação a
e depois em relação a
. Para isso, para cada valor de
de 1 a
,
varia de 0 até
.
Então, a integral fica:
Passo 4
Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a
:
A integral de
em relação a
é
. Então, avaliando de 0 a
:
Passo 5
Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
Para simplificar, podemos tirar o 1/2 da integral:
Passo 6
Para resolver a integral
, usamos a técnica de integração por partes. Vamos definir:
Aplicando a fórmula de integração por partes
:
Agora, precisamos calcular
. Novamente, usando integração por partes:
Então:
Voltando à integral anterior:
Passo 7
Agora, substituímos isso de volta na expressão para
:
Vamos avaliar isso nos limites de 1 a
.
Primeiro, para
:
Agora, para
:
Portanto:
Resposta
Exercícios relacionados
Considere a integral dupla iterada
Escreva
como integral dupla iterada na ordem
e calcule o seu valor.
Considere a integral dupla iterada
Esboce a região
do plano definida pela integral
.
Considere
, onde
é a região limitada por
e
.
Esboce a região do plano definida pela integral
.
Esboce a região
O valor médio de uma função
em uma região
é definido como
onde
é a área da região
.
Calcule o valor médio
da função
no retângulo .
Calcule o valor médio
da função
no retângulo