Considere , onde é a região limitada por e .
Calcule .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntinho! A gente precisa calcular a integral dupla , onde a região é limitada por , e . Aqui, estamos trabalhando com cálculo de integrais duplas, e vamos precisar entender como definir os limites de integração para a região .

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região . Temos as curvas , (que é o eixo y) e . Vamos desenhar isso para visualizar melhor.
  • é o eixo y.
  • é uma linha horizontal que corta o eixo y no ponto .
  • é uma curva logarítmica que passa por porque .
Então, a região está entre e , de até (já que , que é onde a curva corta o eixo x).

Passo 3

Agora, vamos configurar a integral dupla. Podemos integrar primeiro em relação a e depois em relação a . Para isso, para cada valor de de 1 a , varia de 0 até .
Então, a integral fica:

Passo 4

Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a :
A integral de em relação a é . Então, avaliando de 0 a :

Passo 5

Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
Para simplificar, podemos tirar o 1/2 da integral:

Passo 6

Para resolver a integral , usamos a técnica de integração por partes. Vamos definir:
Aplicando a fórmula de integração por partes :
Agora, precisamos calcular . Novamente, usando integração por partes:
Então:
Voltando à integral anterior:

Passo 7

Agora, substituímos isso de volta na expressão para :
Vamos avaliar isso nos limites de 1 a .
Primeiro, para :
Agora, para :
Portanto:

Resposta

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Considere a integral dupla iterada
Escreva como integral dupla iterada na ordem
e calcule o seu valor.
Considere a integral dupla iterada
Esboce a região do plano definida pela integral .
Considere , onde é a região limitada por e .
Esboce a região do plano definida pela integral .
O valor médio de uma função em uma região é definido como
onde é a área da região .
Calcule o valor médio
da função
no retângulo .