Considere I=integral duplaR x d A, onde R é a região limitada por x=ln (y), x=0 e y=e.
Calcule I.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntinho! A gente precisa calcular a integral dupla , onde a região é limitada por , e . Aqui, estamos trabalhando com cálculo de integrais duplas, e vamos precisar entender como definir os limites de integração para a região .

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região . Temos as curvas , (que é o eixo y) e . Vamos desenhar isso para visualizar melhor.
  • é o eixo y.
  • é uma linha horizontal que corta o eixo y no ponto .
  • é uma curva logarítmica que passa por porque .
Então, a região está entre e , de até (já que , que é onde a curva corta o eixo x).

Passo 3

Agora, vamos configurar a integral dupla. Podemos integrar primeiro em relação a I = integraly=1^y=e integralx=0^x=ln(y) x , dx , dy e depois em relação a . Para isso, para cada valor de de 1 a , varia de 0 até .
Então, a integral fica:

Passo 4

Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a integral0^ln(y) x , dx :
[ x^22 ]0^ln(y) = (ln(y))^22 - 0 = (ln(y))^22
A integral de em relação a é . Então, avaliando de 0 a :

Passo 5

Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
I = integral1^e (ln(y))^22 , dy
Para simplificar, podemos tirar o 1/2 da integral:
I = 12 integral1^e (ln(y))^2 , dy

Passo 6

Para resolver a integral u = (ln(y))^2 Rightarrow du = 2ln(y)y , dy , usamos a técnica de integração por partes. Vamos definir:
dv = dy Rightarrow v = y
integral (ln(y))^2 , dy = y (ln(y))^2 - integral y cdot 2ln(y)y , dy = y (ln(y))^2 - 2 integral ln(y) , dy
Aplicando a fórmula de integração por partes u = ln(y) Rightarrow du = 1y , dy :
dv = dy Rightarrow v = y
Agora, precisamos calcular integral ln(y) , dy = y ln(y) - integral y cdot 1y , dy = y ln(y) - integral 1 , dy = y ln(y) - y . Novamente, usando integração por partes:
integral (ln(y))^2 , dy = y (ln(y))^2 - 2 (y ln(y) - y) = y (ln(y))^2 - 2y ln(y) + 2y
Então:
Voltando à integral anterior:

Passo 7

Agora, substituímos isso de volta na expressão para I = 12 [ y (ln(y))^2 - 2y ln(y) + 2y ]1^e :
e (ln(e))^2 - 2e ln(e) + 2e = e (1)^2 - 2e(1) + 2e = e - 2e + 2e = e
Vamos avaliar isso nos limites de 1 a 1 (ln(1))^2 - 2 cdot 1 cdot ln(1) + 2 cdot 1 = 1 (0)^2 - 2 cdot 1 cdot 0 + 2 = 0 - 0 + 2 = 2 .
Primeiro, para I = 12 (e - 2) = e2 - 1 :
Agora, para :
Portanto:

Resposta

I = e2 - 1

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