Considere a integral dupla iterada
Esboce a região
do plano definida pela integral
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente esboçar (fazer um desenho) da região
no plano que está definida pela integral dupla dada. A matéria envolvida aqui é o cálculo de integrais duplas, especificamente entendendo os limites de integração para identificar a região de integração. Para resolver isso, vamos precisar analisar os limites de
e
na integral.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada na integral:
Aqui,
varia de 0 a 9, e para cada valor de
,
varia de
a 3. Isso significa que, para cada ponto na região
, o valor de
está entre a raiz quadrada de
e 3.
Passo 3
Vamos entender melhor esses limites. O limite inferior de
é
. Se rearranjarmos isso, temos
. Isso nos dá a equação de uma parábola que abre para a direita. O limite superior de
é 3, então
vai de
até 3.
Passo 4
Agora, vamos plotar esses limites no plano cartesiano. Primeiro, desenhamos a parábola
. Essa curva começa no ponto (0,0) e se estende para a direita. Em seguida, traçamos a linha horizontal
, que é uma linha reta paralela ao eixo
passando por todos os pontos onde
é igual a 3.
Passo 5
A região
é onde essas duas curvas se encontram e se sobrepõem dentro dos limites dados. Especificamente, para
entre 0 e 9, e
entre
e 3. Isso forma uma área limitada pela parábola
à esquerda e pela linha horizontal
acima.
Resposta
A região
é a área no plano onde
varia de 0 a 9 e, para cada
,
está entre
e 3. Graficamente, é a região delimitada pela parábola
à esquerda e pela linha reta horizontal
acima, abrangendo de
até
.
Exercícios relacionados
Considere a região plana
delimitada pelo eixo
e pelas retas de equações
e
. Calcule o valor da integral dupla
.
Considere a região plana
situada no primeiro quadrante que é limitada pela parábola de equação
, pelo eixo
e pelas retas de equações
e
. Escreva (sem calcular!) a integral dupla
como integral dupla iterada nas ordens
e
.
Considere a integral dupla iterada
Escreva
como integral dupla iterada na ordem
e calcule o seu valor.
Considere
, onde
é a região limitada por
e
.
Calcule .
Calcule