Considere a integral dupla iterada
I=integral0^9 integralraizx^3 sen(pi y^3) d y d x
Esboce a região R do plano definida pela integral I.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente esboçar (fazer um desenho) da região no plano que está definida pela integral dupla dada. A matéria envolvida aqui é o cálculo de integrais duplas, especificamente entendendo os limites de integração para identificar a região de integração. Para resolver isso, vamos precisar analisar os limites de e na integral.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada na integral:
I = integral0^9 integralraizx^3 sin(pi y^3) , dy , dx
Aqui, varia de 0 a 9, e para cada valor de , varia de a 3. Isso significa que, para cada ponto na região , o valor de está entre a raiz quadrada de e 3.

Passo 3

Vamos entender melhor esses limites. O limite inferior de é . Se rearranjarmos isso, temos . Isso nos dá a equação de uma parábola que abre para a direita. O limite superior de é 3, então vai de até 3.

Passo 4

Agora, vamos plotar esses limites no plano cartesiano. Primeiro, desenhamos a parábola . Essa curva começa no ponto (0,0) e se estende para a direita. Em seguida, traçamos a linha horizontal , que é uma linha reta paralela ao eixo passando por todos os pontos onde é igual a 3.

Passo 5

A região é onde essas duas curvas se encontram e se sobrepõem dentro dos limites dados. Especificamente, para entre 0 e 9, e entre e 3. Isso forma uma área limitada pela parábola à esquerda e pela linha horizontal acima.

Resposta

A região é a área no plano onde varia de 0 a 9 e, para cada , está entre e 3. Graficamente, é a região delimitada pela parábola à esquerda e pela linha reta horizontal acima, abrangendo de até .

Exercícios relacionados