Considere , onde é a região limitada por e .
Esboce a região do plano definida pela integral .

Passo 1

Resumo do Enunciado: Temos uma integral dupla , onde é a região limitada por , e . Nosso objetivo é esboçar a região no plano cartesiano.
Conteúdo da Matéria: Cálculo de integrais duplas, definição e delimitação de regiões de integração, gráficos de funções exponenciais e logarítmicas.
O que Precisamos para Resolver: Entender as curvas que formam os limites da região , encontrar os pontos de interseção dessas curvas e definir os limites de integração para esboçar a região corretamente.

Passo 2

Vamos começar analisando cada uma das curvas que delimitam a região :
  1. : Essa é a equação do eixo no plano cartesiano.
  2. : Trata-se de uma linha horizontal que corta o eixo no ponto onde (aproximadamente 2.718).
  3. : Essa é a função logarítmica natural. Sabemos que e que a função está definida para .

Passo 3

Agora, vamos determinar os pontos de interseção dessas curvas para identificar os limites da região :
  • Interseção entre e :
    • Quando , .
    • Portanto, as curvas se intersectam no ponto .
  • Interseção entre e :
    • Substituindo na equação :
    • .
    • Assim, as curvas se intersectam no ponto .

Passo 4

Com os pontos de interseção identificados, podemos descrever a região :
  • Limites de : De (quando ) até .
  • Limites de : Para cada valor de no intervalo , varia de até .
Isso significa que a região está à direita do eixo ( ), abaixo da linha , e à esquerda da curva .

Resposta

A região é o conjunto de pontos no plano que está à direita do eixo ( ), abaixo da linha horizontal e à esquerda da curva logarítmica . Visualmente, é uma área que se estende de a , onde para cada valor de nesse intervalo, varia de até . Essa região tem a forma de um “paraíso” delimitado pela função logaritmo, o eixo vertical e uma linha horizontal superior.

Exercícios relacionados

Considere , onde é a região limitada por e .
Calcule .
Considere a integral dupla iterada
Escreva como integral dupla iterada na ordem
e calcule o seu valor.
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onde é a área da região .
Calcule o valor médio
da função
no retângulo .
Use integração dupla para calcular o volume do sólido situado no primeiro octante, limitado pelos planos e , e pelas superfícies cilíndricas e .