Considere
, onde
é a região limitada por
e
.
Esboce a região
do plano definida pela integral
.
Esboce a região
Passo 1
Resumo do Enunciado: Temos uma integral dupla
, onde
é a região limitada por
,
e
. Nosso objetivo é esboçar a região
no plano cartesiano.
Conteúdo da Matéria: Cálculo de integrais duplas, definição e delimitação de regiões de integração, gráficos de funções exponenciais e logarítmicas.
O que Precisamos para Resolver: Entender as curvas que formam os limites da região
, encontrar os pontos de interseção dessas curvas e definir os limites de integração para esboçar a região corretamente.
Passo 2
Vamos começar analisando cada uma das curvas que delimitam a região
:
-
: Essa é a equação do eixo no plano cartesiano. -
: Trata-se de uma linha horizontal que corta o eixo no ponto onde (aproximadamente 2.718). -
: Essa é a função logarítmica natural. Sabemos que e que a função está definida para .
Passo 3
Agora, vamos determinar os pontos de interseção dessas curvas para identificar os limites da região
:
-
Interseção entre
e : - Quando
, ⇒ . - Portanto, as curvas se intersectam no ponto
.
- Quando
-
Interseção entre
e : - Substituindo
na equação : -
. - Assim, as curvas se intersectam no ponto
.
- Substituindo
Passo 4
Com os pontos de interseção identificados, podemos descrever a região
:
- Limites de
: De (quando ) até . - Limites de
: Para cada valor de no intervalo , varia de até .
Isso significa que a região
está à direita do eixo
(
), abaixo da linha
, e à esquerda da curva
.
Resposta
A região
é o conjunto de pontos no plano que está à direita do eixo
(
), abaixo da linha horizontal
e à esquerda da curva logarítmica
. Visualmente, é uma área que se estende de
a
, onde para cada valor de
nesse intervalo,
varia de
até
. Essa região tem a forma de um “paraíso” delimitado pela função logaritmo, o eixo vertical e uma linha horizontal superior.
Exercícios relacionados
Considere
, onde
é a região limitada por
e
.
Calcule .
Calcule
Considere a integral dupla iterada
Escreva
como integral dupla iterada na ordem
e calcule o seu valor.
O valor médio de uma função
em uma região
é definido como
onde
é a área da região
.
Calcule o valor médio
da função
no retângulo .
Calcule o valor médio
da função
no retângulo
Use integração dupla para calcular o volume do sólido situado no primeiro octante, limitado pelos planos
e
, e pelas superfícies cilíndricas
e
.