Considere a integral dupla iterada
Escreva
como integral dupla iterada na ordem
e calcule o seu valor.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para reescrever uma integral dupla iterada trocando a ordem de integração e, depois, calcular o valor dela. A matéria envolvida aqui é cálculo integral, especificamente a troca de ordem de integração em integrais duplas. Para resolver, vamos precisar entender como as regiões de integração são definidas e como mudá-las de acordo com a ordem desejada.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região de integração original. A integral dada é:
Aqui,
varia de 0 a 9, e para cada
,
varia de
até 3. Vamos desenhar essa região no plano
para entender melhor.
Passo 3
Desenhando a região:
- A curva
é uma parábola que abre para a direita. -
varia de 0 a 9, então varia de 0 a 3 (porque ).
Então, a região de integração está abaixo da linha
e acima da curva
, entre
e
.
Passo 4
Agora, queremos trocar a ordem de integração, ou seja, integrar primeiro em relação a
e depois em relação a
. Para isso, precisamos reescrever os limites de integração.
Quando trocamos a ordem,
será a variável externa. Já sabemos que
varia de 0 a 3. Para cada
,
varia de 0 até
(porque
é a inversa de
).
Passo 5
Então, reescrevendo a integral com a ordem trocada, temos:
Passo 6
Agora, vamos calcular a integral. Observe que a função depende apenas de
, então quando integrarmos em relação a
, ela pode ser tratada como uma constante.
Integrando em relação a
:
Passo 7
Agora, substituímos de volta na integral:
Essa integral pode ser resolvida por substituição. Vamos fazer a substituição
, então
, ou seja,
.
Passo 8
Substituindo na integral:
Integrando em relação a
:
Voltando para
:
Passo 9
Simplificando, sabemos que
(porque o cosseno tem período
) e
. Então:
Resposta
O valor da integral
é
.
Exercícios relacionados
Considere a integral dupla iterada
Esboce a região
do plano definida pela integral
.
Considere a região plana
delimitada pelo eixo
e pelas retas de equações
e
. Calcule o valor da integral dupla
.
Considere
, onde
é a região limitada por
e
.
Calcule .
Calcule
Considere
, onde
é a região limitada por
e
.
Esboce a região do plano definida pela integral
.
Esboce a região