Considere a integral dupla iterada
I=integral0^9 integralraizx^3 sen(pi y^3) d y d x
Escreva I como integral dupla iterada na ordem d x d y
I=integralsquare^square integralsquare^square sen(pi y^3) d x d y
e calcule o seu valor.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para reescrever uma integral dupla iterada trocando a ordem de integração e, depois, calcular o valor dela. A matéria envolvida aqui é cálculo integral, especificamente a troca de ordem de integração em integrais duplas. Para resolver, vamos precisar entender como as regiões de integração são definidas e como mudá-las de acordo com a ordem desejada.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região de integração original. A integral dada é:
Aqui, I = integral0^9 integralraizx^3 sen(pi y^3) dy dx varia de 0 a 9, e para cada , varia de até 3. Vamos desenhar essa região no plano para entender melhor.

Passo 3

Desenhando a região:
  • A curva é uma parábola que abre para a direita.
  • varia de 0 a 9, então varia de 0 a 3 (porque ).
Então, a região de integração está abaixo da linha e acima da curva , entre e .

Passo 4

Agora, queremos trocar a ordem de integração, ou seja, integrar primeiro em relação a e depois em relação a . Para isso, precisamos reescrever os limites de integração.
Quando trocamos a ordem, será a variável externa. Já sabemos que varia de 0 a 3. Para cada , varia de 0 até (porque é a inversa de ).

Passo 5

Então, reescrevendo a integral com a ordem trocada, temos:

Passo 6

Agora, vamos calcular a integral. Observe que a função depende apenas de integral0^y^2 sen(pi y^3) dx = sen(pi y^3) cdot [ x ]0^y^2 = sen(pi y^3) cdot y^2 , então quando integrarmos em relação a , ela pode ser tratada como uma constante.
Integrando em relação a :

Passo 7

Agora, substituímos de volta na integral:
Essa integral pode ser resolvida por substituição. Vamos fazer a substituição I = integral0^3 sen(pi y^3) cdot y^2 dy , então , ou seja, .

Passo 8

Substituindo na integral:
Integrando em relação a I = integral sen(u) cdot du3pi = 13pi integral sen(u) du :
13pi [ -cos(u) ] + C
Voltando para I = 13pi [ -cos(pi y^3) ]0^3 = 13pi ( -cos(27pi) + cos(0) ) :

Passo 9

Simplificando, sabemos que I = 13pi ( -(-1) + 1 ) = 13pi (1 + 1) = 23pi (porque o cosseno tem período ) e . Então:

Resposta

O valor da integral é .

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