Considere a integral dupla iterada
Escreva como integral dupla iterada na ordem
e calcule o seu valor.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para reescrever uma integral dupla iterada trocando a ordem de integração e, depois, calcular o valor dela. A matéria envolvida aqui é cálculo integral, especificamente a troca de ordem de integração em integrais duplas. Para resolver, vamos precisar entender como as regiões de integração são definidas e como mudá-las de acordo com a ordem desejada.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região de integração original. A integral dada é:
Aqui, varia de 0 a 9, e para cada , varia de até 3. Vamos desenhar essa região no plano para entender melhor.

Passo 3

Desenhando a região:
  • A curva é uma parábola que abre para a direita.
  • varia de 0 a 9, então varia de 0 a 3 (porque ).
Então, a região de integração está abaixo da linha e acima da curva , entre e .

Passo 4

Agora, queremos trocar a ordem de integração, ou seja, integrar primeiro em relação a e depois em relação a . Para isso, precisamos reescrever os limites de integração.
Quando trocamos a ordem, será a variável externa. Já sabemos que varia de 0 a 3. Para cada , varia de 0 até (porque é a inversa de ).

Passo 5

Então, reescrevendo a integral com a ordem trocada, temos:

Passo 6

Agora, vamos calcular a integral. Observe que a função depende apenas de , então quando integrarmos em relação a , ela pode ser tratada como uma constante.
Integrando em relação a :

Passo 7

Agora, substituímos de volta na integral:
Essa integral pode ser resolvida por substituição. Vamos fazer a substituição , então , ou seja, .

Passo 8

Substituindo na integral:
Integrando em relação a :
Voltando para :

Passo 9

Simplificando, sabemos que (porque o cosseno tem período ) e . Então:

Resposta

O valor da integral é .

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Considere a integral dupla iterada
Esboce a região do plano definida pela integral .
Considere a região plana delimitada pelo eixo e pelas retas de equações e . Calcule o valor da integral dupla .
Considere , onde é a região limitada por e .
Calcule .
Considere , onde é a região limitada por e .
Esboce a região do plano definida pela integral .