Considere
.
Escreva (sem calcular) I como uma integral tripla iterada em coordenadas cilíndricas.
Escreva (sem calcular) I como uma integral tripla iterada em coordenadas cilíndricas.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma integral tripla em coordenadas cartesianas:
A matéria aqui é cálculo multivariável, especificamente a mudança de coordenadas cartesianas para cilíndricas. Para resolver isso, vamos precisar saber como converter as variáveis
,
,
e o elemento de volume
para coordenadas cilíndricas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como ficam as coordenadas cartesianas
,
,
em coordenadas cilíndricas
:
E o elemento de volume
em coordenadas cilíndricas é dado por:
Passo 3
Agora, vamos identificar os limites de integração em coordenadas cilíndricas.
- O limite para
vai de 0 a 3. Em coordenadas cilíndricas, isso significa que varia de 0 a 3. - O limite para
vai de 0 a . Isso descreve um semicírculo no plano , então varia de 0 a 3 e varia de 0 a para cobrir o primeiro quadrante. - O limite para
vai de a 9. Como , isso transforma os limites de para a 9.
Passo 4
Vamos reescrever a função
em coordenadas cilíndricas. Sabemos que
. Portanto, a função que está sendo integrada se transforma em
.
Passo 5
Juntando tudo, a integral
em coordenadas cilíndricas fica assim:
Resposta
A integral
em coordenadas cilíndricas é: