Considere I=integral0^3 integral0^raiz9-x^2 integralx^2+y^2^9 x d z d y d x.
Escreva (sem calcular) I como uma integral tripla iterada em coordenadas cilíndricas.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma integral tripla em coordenadas cartesianas:
I = integral0^3 integral0^raiz9-x^2 integralx^2+y^2^9 x , dz , dy , dx
A matéria aqui é cálculo multivariável, especificamente a mudança de coordenadas cartesianas para cilíndricas. Para resolver isso, vamos precisar saber como converter as variáveis , , e o elemento de volume para coordenadas cilíndricas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como ficam as coordenadas cartesianas dV = r , dz , dr , dtheta, , em coordenadas cilíndricas :
E o elemento de volume em coordenadas cilíndricas é dado por:

Passo 3

Agora, vamos identificar os limites de integração em coordenadas cilíndricas.
  • O limite para vai de 0 a 3. Em coordenadas cilíndricas, isso significa que varia de 0 a 3.
  • O limite para vai de 0 a . Isso descreve um semicírculo no plano , então varia de 0 a 3 e varia de 0 a para cobrir o primeiro quadrante.
  • O limite para vai de a 9. Como , isso transforma os limites de para a 9.

Passo 4

Vamos reescrever a função em coordenadas cilíndricas. Sabemos que . Portanto, a função que está sendo integrada se transforma em .

Passo 5

Juntando tudo, a integral I = integral0^pi2 integral0^3 integralr^2^9 (r cos theta) cdot r , dz , dr , dtheta em coordenadas cilíndricas fica assim:

Resposta

A integral I = integral0^pi2 integral0^3 integralr^2^9 r^2 cos theta , dz , dr , dtheta em coordenadas cilíndricas é:

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