Considere .
Escreva (sem calcular) I como uma integral tripla iterada em coordenadas cilíndricas.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma integral tripla em coordenadas cartesianas:
A matéria aqui é cálculo multivariável, especificamente a mudança de coordenadas cartesianas para cilíndricas. Para resolver isso, vamos precisar saber como converter as variáveis , , e o elemento de volume para coordenadas cilíndricas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como ficam as coordenadas cartesianas , , em coordenadas cilíndricas :
E o elemento de volume em coordenadas cilíndricas é dado por:

Passo 3

Agora, vamos identificar os limites de integração em coordenadas cilíndricas.
  • O limite para vai de 0 a 3. Em coordenadas cilíndricas, isso significa que varia de 0 a 3.
  • O limite para vai de 0 a . Isso descreve um semicírculo no plano , então varia de 0 a 3 e varia de 0 a para cobrir o primeiro quadrante.
  • O limite para vai de a 9. Como , isso transforma os limites de para a 9.

Passo 4

Vamos reescrever a função em coordenadas cilíndricas. Sabemos que . Portanto, a função que está sendo integrada se transforma em .

Passo 5

Juntando tudo, a integral em coordenadas cilíndricas fica assim:

Resposta

A integral em coordenadas cilíndricas é:

Exercícios relacionados

Seja a porção da bola , limitada acima pelo cone e abaixo pelo plano , representada pela parte mais escura da figura
Escreva (sem calcular) o volume da região como uma integral tripla em coordenadas esféricas.
Seja a porção da bola que se situa acima do cone .
Calcule o valor numérico do volume do sólido .
Considere o sólido situado entre as superfícies esféricas dadas pelas equações e , e dentro da folha de cone superior de equação .
Escreva (sem calcular) o volume do sólido como uma integral tripla iterada em coordenadas esféricas
Seja a região sólida limitada por cima e por baixo pela esfera e lateralmente pelo cilindro , como mostra a figura.
Escreva (sem calcular) a massa do corpo que ocupa a região , sabendo-se que a sua densidade é , como uma integral tripla em coordenadas esféricas.