Considere o sólido S situado entre as superfícies esféricas dadas pelas equações x^2 + y^2 + z^2 = 4 e x^2 + y^2 + z^2 = 16, e dentro da folha de cone superior de equação z = raiz(x^2 + y^2).
Escreva (sem calcular) o volume do sólido S como uma integral tripla iterada em coordenadas esféricas

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrarmos o volume de um sólido S que está entre duas superfícies esféricas ( x^2 + y^2 + z^2 = 4 e x^2 + y^2 + z^2 = 16) e dentro de um cone ( z = raiz(x^2 + y^2)). A matéria que vamos usar aqui é o cálculo em coordenadas esféricas, que é bem útil para resolver integrais em regiões com simetria esférica. Vamos precisar configurar uma integral tripla iterada nessa coordenada para representar o volume do sólido S.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são as coordenadas esféricas. Em coordenadas esféricas, qualquer ponto no espaço é descrito por três parâmetros: rho (distância do ponto à origem), theta (ângulo no plano xy a partir do eixo x) e phi (ângulo a partir do eixo z).

Passo 3

O volume em coordenadas esféricas é calculado usando a seguinte expressão para o elemento de volume:

Passo 4

Agora, vamos identificar os limites de integração para cada variável.
  • rho: Está entre as duas esferas. A esfera menor tem raio (porque ) e a maior tem raio (porque ). Então, .
  • theta: Como não há restrição em torno do eixo z, theta varia de 0 a .
  • phi: O sólido está dentro do cone . Em coordenadas esféricas, e . Então, a equação do cone fica , ou simplificando, . Isso acontece quando . Portanto, phi varia de 0 a pi/4.

Passo 5

Com todos os limites identificados, podemos montar a integral tripla para o volume S em coordenadas esféricas:

Resposta

Portanto, o volume do sólido S pode ser expresso como a integral tripla iterada em coordenadas esféricas:

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