Considere o sólido
situado entre as superfícies esféricas dadas pelas equações
e
, e dentro da folha de cone superior de equação
.
Escreva (sem calcular) o volume do sólido
como uma integral tripla iterada em coordenadas esféricas
Escreva (sem calcular) o volume do sólido
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrarmos o volume de um sólido
que está entre duas superfícies esféricas (
e
) e dentro de um cone (
). A matéria que vamos usar aqui é o cálculo em coordenadas esféricas, que é bem útil para resolver integrais em regiões com simetria esférica. Vamos precisar configurar uma integral tripla iterada nessa coordenada para representar o volume do sólido
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são as coordenadas esféricas. Em coordenadas esféricas, qualquer ponto no espaço é descrito por três parâmetros:
(distância do ponto à origem),
(ângulo no plano
a partir do eixo
) e
(ângulo a partir do eixo
).
Passo 3
O volume em coordenadas esféricas é calculado usando a seguinte expressão para o elemento de volume:
Passo 4
Agora, vamos identificar os limites de integração para cada variável.
-
: Está entre as duas esferas. A esfera menor tem raio (porque ) e a maior tem raio (porque ). Então, . -
: Como não há restrição em torno do eixo , varia de a . -
: O sólido está dentro do cone . Em coordenadas esféricas, e . Então, a equação do cone fica , ou simplificando, . Isso acontece quando . Portanto, varia de a .
Passo 5
Com todos os limites identificados, podemos montar a integral tripla para o volume
em coordenadas esféricas:
Resposta
Portanto, o volume do sólido
pode ser expresso como a integral tripla iterada em coordenadas esféricas:
Exercícios relacionados
Considere
.
Escreva (sem calcular) I como uma integral tripla iterada em coordenadas cilíndricas.
Escreva (sem calcular) I como uma integral tripla iterada em coordenadas cilíndricas.
Seja
a porção da bola
, limitada acima pelo cone
e abaixo pelo plano
, representada pela parte mais escura da figura
Escreva (sem calcular) o volume da região como uma integral tripla em coordenadas esféricas.
Escreva (sem calcular) o volume da região
Seja
a região sólida limitada por cima e por baixo pela esfera
e lateralmente pelo cilindro
, como mostra a figura.
Escreva (sem calcular) a massa do corpo que ocupa a região , sabendo-se que a sua densidade é
, como uma integral tripla em coordenadas esféricas.
Escreva (sem calcular) a massa do corpo que ocupa a região
Considere
.
Calcule usando o sistema de coordenadas que julgar mais conveniente.
Calcule