Seja G a região sólida limitada por cima e por baixo pela esfera x^2 + y^2 + z^2 = 16 e lateralmente pelo cilindro x^2 + y^2 = 8, como mostra a figura.
Escreva (sem calcular) a massa do corpo que ocupa a região G, sabendo-se que a sua densidade é delta(x, y, z) = z^4 * raiz(x^2 + y^2), como uma integral tripla em coordenadas esféricas.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma região sólida limitada por uma esfera de raio 4 (já que ) e por um cilindro com raio (já que ). A gente precisa escrever, sem calcular, a massa desse corpo usando uma integral tripla em coordenadas esféricas. Para isso, vamos precisar entender como converter a densidade dada para coordenadas esféricas e definir os limites de integração adequados.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar as coordenadas esféricas. Em coordenadas esféricas, qualquer ponto no espaço é definido por três parâmetros:
  • : a distância do ponto até a origem.
  • : o ângulo no plano xy a partir do eixo x.
  • : o ângulo a partir do eixo z.
As relações de conversão são:
E o elemento de volume em coordenadas esféricas é:

Passo 3

Agora, vamos transformar a função densidade para coordenadas esféricas.
Substituindo as expressões:
Portanto, a densidade em coordenadas esféricas fica:

Passo 4

Vamos definir agora os limites de integração para cada coordenada esférica.
  • : Como a região está dentro da esfera , o raio máximo é 4. Além disso, o cilindro em coordenadas esféricas é , ou seja, , então .
  • : O ângulo varia de 0 a , mas devido ao cilindro, precisamos encontrar os limites onde o cilindro e a esfera se intersectam. Resolvendo com , temos , então varia de 0 a .
  • : Como o cilindro é simétrico em torno do eixo z, varia de 0 a .

Passo 5

Agora, vamos montar a integral tripla para a massa da região :
Simplificando, temos:

Resposta

A massa do corpo é dada pela integral tripla em coordenadas esféricas:

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