Seja
a região sólida limitada por cima e por baixo pela esfera
e lateralmente pelo cilindro
, como mostra a figura.
Escreva (sem calcular) a massa do corpo que ocupa a região
, sabendo-se que a sua densidade é
, como uma integral tripla em coordenadas esféricas.
Escreva (sem calcular) a massa do corpo que ocupa a região
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma região sólida
limitada por uma esfera de raio 4 (já que
) e por um cilindro com raio
(já que
). A gente precisa escrever, sem calcular, a massa desse corpo usando uma integral tripla em coordenadas esféricas. Para isso, vamos precisar entender como converter a densidade dada
para coordenadas esféricas e definir os limites de integração adequados.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar as coordenadas esféricas. Em coordenadas esféricas, qualquer ponto no espaço é definido por três parâmetros:
-
: a distância do ponto até a origem. -
: o ângulo no plano xy a partir do eixo x. -
: o ângulo a partir do eixo z.
As relações de conversão são:
E o elemento de volume em coordenadas esféricas é:
Passo 3
Agora, vamos transformar a função densidade
para coordenadas esféricas.
Substituindo as expressões:
Portanto, a densidade em coordenadas esféricas fica:
Passo 4
Vamos definir agora os limites de integração para cada coordenada esférica.
-
: Como a região está dentro da esfera , o raio máximo é 4. Além disso, o cilindro em coordenadas esféricas é , ou seja, , então . -
: O ângulo varia de 0 a , mas devido ao cilindro, precisamos encontrar os limites onde o cilindro e a esfera se intersectam. Resolvendo com , temos , então varia de 0 a . -
: Como o cilindro é simétrico em torno do eixo z, varia de 0 a .
Passo 5
Agora, vamos montar a integral tripla para a massa
da região
:
Simplificando, temos:
Resposta
A massa do corpo é dada pela integral tripla em coordenadas esféricas: