Seja a região sólida limitada por cima e por baixo pela esfera e lateralmente pelo cilindro , como mostra a figura.
Escreva (sem calcular) a massa do corpo que ocupa a região , sabendo-se que a sua densidade é , como uma integral tripla em coordenadas esféricas.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma região sólida limitada por uma esfera de raio 4 (já que ) e por um cilindro com raio (já que ). A gente precisa escrever, sem calcular, a massa desse corpo usando uma integral tripla em coordenadas esféricas. Para isso, vamos precisar entender como converter a densidade dada para coordenadas esféricas e definir os limites de integração adequados.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar as coordenadas esféricas. Em coordenadas esféricas, qualquer ponto no espaço é definido por três parâmetros:
  • : a distância do ponto até a origem.
  • : o ângulo no plano xy a partir do eixo x.
  • : o ângulo a partir do eixo z.
As relações de conversão são:
E o elemento de volume em coordenadas esféricas é:

Passo 3

Agora, vamos transformar a função densidade para coordenadas esféricas.
Substituindo as expressões:
Portanto, a densidade em coordenadas esféricas fica:

Passo 4

Vamos definir agora os limites de integração para cada coordenada esférica.
  • : Como a região está dentro da esfera , o raio máximo é 4. Além disso, o cilindro em coordenadas esféricas é , ou seja, , então .
  • : O ângulo varia de 0 a , mas devido ao cilindro, precisamos encontrar os limites onde o cilindro e a esfera se intersectam. Resolvendo com , temos , então varia de 0 a .
  • : Como o cilindro é simétrico em torno do eixo z, varia de 0 a .

Passo 5

Agora, vamos montar a integral tripla para a massa da região :
Simplificando, temos:

Resposta

A massa do corpo é dada pela integral tripla em coordenadas esféricas:

Exercícios relacionados

Considere o sólido situado entre as superfícies esféricas dadas pelas equações e , e dentro da folha de cone superior de equação .
Escreva (sem calcular) o volume do sólido como uma integral tripla iterada em coordenadas esféricas
Considere .
Escreva (sem calcular) I como uma integral tripla iterada em coordenadas cilíndricas.
Considere .
Calcule usando o sistema de coordenadas que julgar mais conveniente.
Seja a porção da bola que se situa acima do plano .
Escreva (sem calcular) o volume do sólido como uma integral tripla em coordenadas retangulares.