Seja G a porção da bola x^2 + y^2 + z^2 <= 9 que se situa acima do cone z = raiz(x^2 + y^2).
Calcule o valor numérico do volume do sólido G.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular o volume de uma parte da esfera definida por que está acima do cone . Isso envolve conceitos de geometria espacial e cálculo de integrais para determinar volumes. Vamos precisar entender como configurar a integral correta usando coordenadas apropriadas.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região que queremos calcular. Temos uma esfera com raio 3 porque . O cone tem um ângulo de 45 graus com o eixo z. Queremos encontrar o volume dentro da esfera que está acima desse cone.

Passo 3

Para facilitar os cálculos, vamos usar coordenadas esféricas. Nas coordenadas esféricas, um ponto é descrito por , onde:
  • é a distância do ponto à origem,
  • é o ângulo no plano xy a partir do eixo x,
  • é o ângulo a partir do eixo z.
A conversão das coordenadas cartesianas para esféricas é dada por:

Passo 4

A equação da esfera em coordenadas esféricas fica simplesmente .
A equação do cone pode ser reescrita em esféricas. Substituindo:
Simplificando, temos:

Passo 5

Agora, configuramos os limites de integração:
  • varia de 0 a 3 (raio da esfera).
  • varia de 0 a (completando toda a volta ao redor do eixo z).
  • varia de 0 a (até o ângulo do cone).
A fórmula para o volume em coordenadas esféricas é:

Passo 6

Vamos calcular a integral passo a passo:
Primeiro, integramos em relação a :
Agora, a integral fica:
Integrando em relação a :
Agora, a integral fica:

Resposta

O volume do sólido é:
ú

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