Seja
a porção da bola
que se situa acima do cone
.
Calcule o valor numérico do volume do sólido
.
Calcule o valor numérico do volume do sólido
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular o volume de uma parte da esfera definida por
que está acima do cone
. Isso envolve conceitos de geometria espacial e cálculo de integrais para determinar volumes. Vamos precisar entender como configurar a integral correta usando coordenadas apropriadas.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região que queremos calcular. Temos uma esfera com raio 3 porque
. O cone
tem um ângulo de 45 graus com o eixo z. Queremos encontrar o volume dentro da esfera que está acima desse cone.
Passo 3
Para facilitar os cálculos, vamos usar coordenadas esféricas. Nas coordenadas esféricas, um ponto é descrito por
, onde:
-
é a distância do ponto à origem, -
é o ângulo no plano xy a partir do eixo x, -
é o ângulo a partir do eixo z.
A conversão das coordenadas cartesianas para esféricas é dada por:
Passo 4
A equação da esfera
em coordenadas esféricas fica simplesmente
.
A equação do cone
pode ser reescrita em esféricas. Substituindo:
Simplificando, temos:
Passo 5
Agora, configuramos os limites de integração:
-
varia de 0 a 3 (raio da esfera). -
varia de 0 a (completando toda a volta ao redor do eixo z). -
varia de 0 a (até o ângulo do cone).
A fórmula para o volume em coordenadas esféricas é:
Passo 6
Vamos calcular a integral passo a passo:
Primeiro, integramos em relação a
:
Agora, a integral fica:
Integrando em relação a
:
Agora, a integral fica:
Resposta
O volume do sólido
é:
Exercícios relacionados
Seja
em que
é a região sólida do semiespaço
delimitada acima pelo paraboloide
e abaixo pelo plano
.
Calcule usando o sistema de coordenadas que julgar mais conveniente.
Calcule
Seja
a porção da bola
que se situa no primeiro octante, limitada pelos planos coordenados
, pelo plano
e pela esfera
.
Escreva (sem calcular) a massa do corpo que ocupa a região , sabendo-se que a sua densidade é igual a
, como uma integral tripla em coordenadas esféricas.
Escreva (sem calcular) a massa do corpo que ocupa a região
Seja
a porção da bola
, limitada acima pelo cone
e abaixo pelo plano
, representada pela parte mais escura da figura
Escreva (sem calcular) o volume da região como uma integral tripla em coordenadas esféricas.
Escreva (sem calcular) o volume da região
Considere
.
Escreva (sem calcular) I como uma integral tripla iterada em coordenadas cilíndricas.
Escreva (sem calcular) I como uma integral tripla iterada em coordenadas cilíndricas.