Seja G a porção da bola x^2 + y^2 + z^2 <= 9, limitada acima pelo cone z = raiz(3) * raiz(x^2 + y^2) e abaixo pelo plano x y, representada pela parte mais escura da figura
Escreva (sem calcular) o volume da região G como uma integral tripla em coordenadas esféricas.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma região que é parte de uma bola com raio 3, já que . Essa região é limitada de cima por um cone dado por e de baixo pelo plano . A matéria que vamos usar aqui é cálculo em coordenadas esféricas, que é super útil para resolver integrais em regiões com simetria esférica. Vamos precisar transformar as equações da região para coordenadas esféricas e definir os limites das integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como são as coordenadas esféricas. Em coordenadas esféricas, um ponto no espaço é representado por , onde:
  • é a distância do ponto até a origem,
  • é o ângulo no plano a partir do eixo ,
  • é o ângulo entre o vetor que vai até o ponto e o eixo .
As relações entre coordenadas cartesianas e esféricas são:
E o elemento de volume em coordenadas esféricas é:

Passo 3

Agora, precisamos identificar os limites de integração para , e .
  • Para : Como estamos dentro da bola de raio 3, vai de 0 até 3.
  • Para : Como não há restrição angular no plano , varia de 0 a .
  • Para : Este é o ângulo que vai determinar até onde o cone chega. O cone é dado por . Em coordenadas esféricas, isso se traduz em . Simplificando, temos porque .

Passo 4

Com todos os limites definidos, podemos montar a integral tripla que representa o volume da região . Lembrando que o elemento de volume em coordenadas esféricas é , temos:

Resposta

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