Seja
a porção da bola
, limitada acima pelo cone
e abaixo pelo plano
, representada pela parte mais escura da figura
Escreva (sem calcular) o volume da região
como uma integral tripla em coordenadas esféricas.
Escreva (sem calcular) o volume da região
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma região
que é parte de uma bola com raio 3, já que
. Essa região é limitada de cima por um cone dado por
e de baixo pelo plano
. A matéria que vamos usar aqui é cálculo em coordenadas esféricas, que é super útil para resolver integrais em regiões com simetria esférica. Vamos precisar transformar as equações da região para coordenadas esféricas e definir os limites das integrais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como são as coordenadas esféricas. Em coordenadas esféricas, um ponto no espaço é representado por
, onde:
-
é a distância do ponto até a origem, -
é o ângulo no plano a partir do eixo , -
é o ângulo entre o vetor que vai até o ponto e o eixo .
As relações entre coordenadas cartesianas e esféricas são:
E o elemento de volume em coordenadas esféricas é:
Passo 3
Agora, precisamos identificar os limites de integração para
,
e
.
- Para
: Como estamos dentro da bola de raio 3, vai de 0 até 3. - Para
: Como não há restrição angular no plano , varia de 0 a . - Para
: Este é o ângulo que vai determinar até onde o cone chega. O cone é dado por . Em coordenadas esféricas, isso se traduz em . Simplificando, temos porque .
Passo 4
Com todos os limites definidos, podemos montar a integral tripla que representa o volume da região
. Lembrando que o elemento de volume em coordenadas esféricas é
, temos: