Considere .
Calcule usando o sistema de coordenadas que julgar mais conveniente.

Passo 1

Beleza, então temos esse integral triplo:
Aqui, estamos lidando com cálculo de múltiplas integrais, especificamente um integral triplo. Para resolver isso de forma mais fácil, vamos mudar para coordenadas cilíndricas, que são mais convenientes quando lidamos com regiões circulares ou esféricas. Vamos precisar entender como converter as coordenadas cartesianas (x, y, z) para as cilíndricas ( ).

Passo 2

Primeiro, let’s converter as nossas variáveis para coordenadas cilíndricas. Em coordenadas cilíndricas:
E o diferencial de volume se transforma em:

Passo 3

Agora, vamos determinar os novos limites de integração em coordenadas cilíndricas.
  • Para : Olhando os limites de e , vemos que vai de 0 a 3 e vai de 0 a , o que descreve um quarto de círculo com raio 3. Então, vai de 0 a 3.
  • Para : Como e são positivos, varia de 0 a (90 graus).
  • Para : vai de até 9. Em coordenadas cilíndricas, isso fica de até 9.

Passo 4

Vamos reescrever o integrando em coordenadas cilíndricas. Sabemos que . Então, o integrando fica:
Agora, substituindo tudo na integral tripla:
Aqui, multiplicamos por devido ao diferencial de volume .

Passo 5

Vamos simplificar e resolver a integral passo a passo.
Primeiro, simplificamos o integrando:
Integramos em relação a :
Então, a integral fica:
Distribuindo :
Calculando as integrais em :
Substituindo de volta:
Simplificando dentro do parêntese:
Então:
Integrando :
Aplicando os limites:
Sabemos que e , então:

Resposta

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Seja a região sólida limitada por cima e por baixo pela esfera e lateralmente pelo cilindro , como mostra a figura.
Escreva (sem calcular) a massa do corpo que ocupa a região , sabendo-se que a sua densidade é , como uma integral tripla em coordenadas esféricas.
Considere o sólido situado entre as superfícies esféricas dadas pelas equações e , e dentro da folha de cone superior de equação .
Escreva (sem calcular) o volume do sólido como uma integral tripla iterada em coordenadas esféricas
Seja a porção da bola que se situa acima do plano .
Escreva (sem calcular) o volume do sólido como uma integral tripla em coordenadas retangulares.
Seja a porção da bola que se situa no primeiro octante, limitada pelos planos coordenados , pelo plano e pela esfera .
Calcule o valor numérico do volume do sólido .