Considere I=integral0^3 integral0^raiz9-x^2 integralx^2+y^2^9 x d z d y d x.
Calcule I usando o sistema de coordenadas que julgar mais conveniente.

Passo 1

Beleza, então temos esse integral triplo:
I = integral0^3 integral0^raiz9 - x^2 integralx^2+y^2^9 x , dz , dy , dx
Aqui, estamos lidando com cálculo de múltiplas integrais, especificamente um integral triplo. Para resolver isso de forma mais fácil, vamos mudar para coordenadas cilíndricas, que são mais convenientes quando lidamos com regiões circulares ou esféricas. Vamos precisar entender como converter as coordenadas cartesianas (x, y, z) para as cilíndricas ( ).

Passo 2

Primeiro, let’s converter as nossas variáveis para coordenadas cilíndricas. Em coordenadas cilíndricas:
  • dV = r , dz , dr , dtheta
E o diferencial de volume se transforma em:

Passo 3

Agora, vamos determinar os novos limites de integração em coordenadas cilíndricas.
  • Para : Olhando os limites de e , vemos que vai de 0 a 3 e vai de 0 a , o que descreve um quarto de círculo com raio 3. Então, vai de 0 a 3.
  • Para : Como e são positivos, varia de 0 a (90 graus).
  • Para : vai de até 9. Em coordenadas cilíndricas, isso fica de até 9.

Passo 4

Vamos reescrever o integrando x = r cos(theta) em coordenadas cilíndricas. Sabemos que I = integral0^pi2 integral0^3 integralr^2^9 (r cos(theta)) cdot r , dz , dr , dtheta . Então, o integrando fica:
Agora, substituindo tudo na integral tripla:
Aqui, multiplicamos por devido ao diferencial de volume .

Passo 5

Vamos simplificar e resolver a integral passo a passo.
Primeiro, simplificamos o integrando:
I = integral0^pi2 integral0^3 integralr^2^9 r^2 cos(theta) , dz , dr , dtheta
Integramos em relação a integralr^2^9 dz = 9 - r^2 :
I = integral0^pi2 integral0^3 r^2 cos(theta) (9 - r^2) , dr , dtheta
Então, a integral fica:
I = integral0^pi2 cos(theta) ( 9 integral0^3 r^2 , dr - integral0^3 r^4 , dr ) dtheta
Distribuindo integral0^3 r^2 , dr = [ r^33 ]0^3 = 273 = 9 :
integral0^3 r^4 , dr = [ r^55 ]0^3 = 2435
Calculando as integrais em I = integral0^pi2 cos(theta) ( 9 cdot 9 - 2435 ) dtheta :
I = integral0^pi2 cos(theta) ( 81 - 2435 ) dtheta
81 = 4055
Substituindo de volta:
4055 - 2435 = 1625
I = 1625 integral0^pi2 cos(theta) , dtheta
Simplificando dentro do parêntese:
integral cos(theta) , dtheta = sin(theta)
I = 1625 [ sin(pi2) - sin(0) ]
Então:
I = 1625 (1 - 0) = 1625
Integrando :
Aplicando os limites:
Sabemos que e , então:

Resposta

I = 1625

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