Considere
.
Calcule
usando o sistema de coordenadas que julgar mais conveniente.
Calcule
Passo 1
Beleza, então temos esse integral triplo:
Aqui, estamos lidando com cálculo de múltiplas integrais, especificamente um integral triplo. Para resolver isso de forma mais fácil, vamos mudar para coordenadas cilíndricas, que são mais convenientes quando lidamos com regiões circulares ou esféricas. Vamos precisar entender como converter as coordenadas cartesianas (x, y, z) para as cilíndricas (
).
Passo 2
Primeiro, let’s converter as nossas variáveis para coordenadas cilíndricas. Em coordenadas cilíndricas:
E o diferencial de volume
se transforma em:
Passo 3
Agora, vamos determinar os novos limites de integração em coordenadas cilíndricas.
-
Para
: Olhando os limites de e , vemos que vai de 0 a 3 e vai de 0 a , o que descreve um quarto de círculo com raio 3. Então, vai de 0 a 3. -
Para
: Como e são positivos, varia de 0 a (90 graus). -
Para
: vai de até 9. Em coordenadas cilíndricas, isso fica de até 9.
Passo 4
Vamos reescrever o integrando
em coordenadas cilíndricas. Sabemos que
. Então, o integrando fica:
Agora, substituindo tudo na integral tripla:
Aqui, multiplicamos por
devido ao diferencial de volume
.
Passo 5
Vamos simplificar e resolver a integral passo a passo.
Primeiro, simplificamos o integrando:
Integramos em relação a
:
Então, a integral fica:
Distribuindo
:
Calculando as integrais em
:
Substituindo de volta:
Simplificando dentro do parêntese:
Então:
Integrando
:
Aplicando os limites:
Sabemos que
e
, então: