Seja
a porção da bola
que se situa acima do plano
.
Escreva (sem calcular) o volume do sólido
como uma integral tripla em coordenadas retangulares.
Escreva (sem calcular) o volume do sólido
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma esfera definida pela equação
, que representa uma bola com raio 5 centrada na origem. A porção
dessa bola está localizada acima do plano
. Nosso objetivo é escrever, sem calcular, o volume desse sólido
usando uma integral tripla em coordenadas retangulares. Para isso, vamos precisar conhecer os limites de integração para
,
e
que descrevem exatamente a região
.
Passo 2
Primeiro, vamos determinar os limites para
. Como estamos considerando a parte da esfera acima do plano
,
varia de 3 até o valor máximo na esfera. A equação da esfera pode ser rearranjada para encontrar
:
Portanto,
varia de 3 até
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar os limites para
. Para cada valor de
,
varia de
até
. No entanto, como
já está limitado, precisamos expressar
em termos de
. A interseção da esfera com o plano
é um círculo com raio:
Então, para cada
,
varia de
até
.
Passo 4
Por último, vamos determinar os limites para
. O círculo de interseção tem raio 4, então
varia de -4 a 4.
Resposta
O volume do sólido
pode ser escrito como a seguinte integral tripla em coordenadas retangulares: