Seja a porção da bola que se situa acima do plano .
Escreva (sem calcular) o volume do sólido como uma integral tripla em coordenadas retangulares.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma esfera definida pela equação , que representa uma bola com raio 5 centrada na origem. A porção dessa bola está localizada acima do plano . Nosso objetivo é escrever, sem calcular, o volume desse sólido usando uma integral tripla em coordenadas retangulares. Para isso, vamos precisar conhecer os limites de integração para , e que descrevem exatamente a região .

Passo 2

Primeiro, vamos determinar os limites para . Como estamos considerando a parte da esfera acima do plano , varia de 3 até o valor máximo na esfera. A equação da esfera pode ser rearranjada para encontrar :
Portanto, varia de 3 até .

Passo 3

Agora, vamos encontrar os limites para . Para cada valor de , varia de até . No entanto, como já está limitado, precisamos expressar em termos de . A interseção da esfera com o plano é um círculo com raio:
Então, para cada , varia de até .

Passo 4

Por último, vamos determinar os limites para . O círculo de interseção tem raio 4, então varia de -4 a 4.

Resposta

O volume do sólido pode ser escrito como a seguinte integral tripla em coordenadas retangulares:

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Considere .
Calcule usando o sistema de coordenadas que julgar mais conveniente.
Seja a região sólida limitada por cima e por baixo pela esfera e lateralmente pelo cilindro , como mostra a figura.
Escreva (sem calcular) a massa do corpo que ocupa a região , sabendo-se que a sua densidade é , como uma integral tripla em coordenadas esféricas.
Seja a porção da bola que se situa no primeiro octante, limitada pelos planos coordenados , pelo plano e pela esfera .
Calcule o valor numérico do volume do sólido .
Seja a região sólida limitada entre as esferas de raios 1 e 3 , centradas na origem. Calcule a massa de um corpo que ocupe a região e que tenha densidade para todo ponto .