Seja
a porção da bola
que se situa acima do plano
.
Escreva (sem calcular) o volume do sólido
como uma integral tripla em coordenadas retangulares.
Escreva (sem calcular) o volume do sólido
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma esfera definida pela equação
, que representa uma bola com raio 5 centrada na origem. A porção
dessa bola está localizada acima do plano
. Nosso objetivo é escrever, sem calcular, o volume desse sólido
usando uma integral tripla em coordenadas retangulares. Para isso, vamos precisar conhecer os limites de integração para
,
e
que descrevem exatamente a região
.
Passo 2
Primeiro, vamos determinar os limites para
. Como estamos considerando a parte da esfera acima do plano
,
varia de 3 até o valor máximo na esfera. A equação da esfera pode ser rearranjada para encontrar
:
Portanto,
varia de 3 até
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar os limites para
. Para cada valor de
,
varia de
até
. No entanto, como
já está limitado, precisamos expressar
em termos de
. A interseção da esfera com o plano
é um círculo com raio:
Então, para cada
,
varia de
até
.
Passo 4
Por último, vamos determinar os limites para
. O círculo de interseção tem raio 4, então
varia de -4 a 4.
Resposta
O volume do sólido
pode ser escrito como a seguinte integral tripla em coordenadas retangulares:
Exercícios relacionados
Considere
.
Calcule usando o sistema de coordenadas que julgar mais conveniente.
Calcule
Seja
a região sólida limitada por cima e por baixo pela esfera
e lateralmente pelo cilindro
, como mostra a figura.
Escreva (sem calcular) a massa do corpo que ocupa a região , sabendo-se que a sua densidade é
, como uma integral tripla em coordenadas esféricas.
Escreva (sem calcular) a massa do corpo que ocupa a região
Seja
a porção da bola
que se situa no primeiro octante, limitada pelos planos coordenados
, pelo plano
e pela esfera
.
Calcule o valor numérico do volume do sólido .
Calcule o valor numérico do volume do sólido
Seja
a região sólida limitada entre as esferas de raios 1 e 3 , centradas na origem. Calcule a massa de um corpo que ocupe a região
e que tenha densidade
para todo ponto
.