Considere
, com
. Prove que
é múltiplo de
, para todo
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um número natural
, onde
, e queremos provar que
é múltiplo de
para todo número natural
. Isso está relacionado à matéria de Álgebra, especificamente sobre divisibilidade e fatoração de expressões algébricas. Para resolver isso, vamos precisar usar técnicas de fatoração de expressões do tipo
.
Passo 2
Vamos começar olhando para a expressão
. Queremos ver se conseguimos escrever essa expressão como o produto de
por outra coisa. Se conseguirmos, isso vai mostrar que
é realmente um divisor de
.
Passo 3
Existe uma identidade algébrica que nos ajuda aqui:
Essa identidade nos diz que
pode ser fatorado em
multiplicado por uma soma de potências de
.
Passo 4
Vamos verificar essa identidade multiplicando
pela soma dentro dos parênteses:
Distribuindo o
e o
, temos:
Simplificando, isso resulta em:
Perceba que quase todos os termos se cancelam, deixando apenas:
Passo 5
Então, vimos que:
Isso mostra que
é um fator de
, ou seja,
é múltiplo de
.
Resposta
Concluímos que
é múltiplo de
para todo
.