Considere a in N, com a >= 2. Prove que a^m-1 é múltiplo de a-1, para todo m in N.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um número natural , onde , e queremos provar que é múltiplo de para todo número natural . Isso está relacionado à matéria de Álgebra, especificamente sobre divisibilidade e fatoração de expressões algébricas. Para resolver isso, vamos precisar usar técnicas de fatoração de expressões do tipo .

Passo 2

Vamos começar olhando para a expressão . Queremos ver se conseguimos escrever essa expressão como o produto de por outra coisa. Se conseguirmos, isso vai mostrar que é realmente um divisor de .

Passo 3

Existe uma identidade algébrica que nos ajuda aqui:
a^m - 1 = (a - 1)(a^m-1 + a^m-2 + cdots + a + 1)
Essa identidade nos diz que pode ser fatorado em multiplicado por uma soma de potências de .

Passo 4

Vamos verificar essa identidade multiplicando (a - 1)(a^m-1 + a^m-2 + cdots + a + 1) pela soma dentro dos parênteses:
= a cdot a^m-1 + a cdot a^m-2 + cdots + a cdot a + a cdot 1 - 1 cdot a^m-1 - 1 cdot a^m-2 - cdots - 1 cdot a - 1 cdot 1
Distribuindo o = a^m + a^m-1 + cdots + a^2 + a - a^m-1 - a^m-2 - cdots - a - 1 e o = a^m - 1 , temos:
Simplificando, isso resulta em:
Perceba que quase todos os termos se cancelam, deixando apenas:

Passo 5

Então, vimos que:
a^m - 1 = (a - 1)(a^m-1 + a^m-2 + cdots + a + 1)
Isso mostra que é um fator de , ou seja, é múltiplo de .

Resposta

Concluímos que é múltiplo de para todo .

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