Utilize indução para demonstrar que as seguintes igualdades são verdadeiras para todo
:
;
Passo 1
Vamos resumir o exercício. Queremos provar, usando indução matemática, que para todo número natural
, a soma dos cubos dos números de 1 até
é igual a
. Para isso, vamos precisar conhecer o método de indução matemática, que envolve verificar o caso base e, em seguida, assumir que a afirmação é verdadeira para um caso geral
e mostrar que ela também vale para
.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar o caso base, onde
. Substituindo na equação:
Calculando ambos os lados:
Como os dois lados são iguais, o caso base é verdadeiro.
Passo 3
Agora, vamos assumir que a afirmação é verdadeira para algum número natural
. Ou seja, vamos assumir que:
Essa é a nossa hipótese de indução.
Passo 4
Precisamos mostrar que, se a afirmação é verdadeira para
, então também é verdadeira para
. Vamos considerar a soma até
:
Passo 5
Usando a hipótese de indução, substituímos a soma até
:
Vamos fatorar
:
Simplificando dentro do parênteses:
Então, temos:
Resposta
Portanto, a igualdade é verdadeira para
, completando a prova por indução.