Utilize indução para demonstrar que as seguintes igualdades são verdadeiras para todo m in N : 1^3+2^3+3^3+cdots+m^3=m^2(m+1)^24;

Passo 1

Vamos resumir o exercício. Queremos provar, usando indução matemática, que para todo número natural , a soma dos cubos dos números de 1 até é igual a . Para isso, vamos precisar conhecer o método de indução matemática, que envolve verificar o caso base e, em seguida, assumir que a afirmação é verdadeira para um caso geral e mostrar que ela também vale para .

Passo 2

Primeiro, vamos verificar o caso base, onde 1^3 = 1^2(1+1)^24 . Substituindo na equação:
1 = 1 times 44 = 1
Calculando ambos os lados:
Como os dois lados são iguais, o caso base é verdadeiro.

Passo 3

Agora, vamos assumir que a afirmação é verdadeira para algum número natural 1^3 + 2^3 + 3^3 + cdots + k^3 = k^2(k+1)^24 . Ou seja, vamos assumir que:
Essa é a nossa hipótese de indução.

Passo 4

Precisamos mostrar que, se a afirmação é verdadeira para 1^3 + 2^3 + 3^3 + cdots + k^3 + (k+1)^3 , então também é verdadeira para . Vamos considerar a soma até :

Passo 5

Usando a hipótese de indução, substituímos a soma até k^2(k+1)^24 + (k+1)^3 :
= k^2(k+1)^2 + 4(k+1)^34
Vamos fatorar = (k+1)^2(k^2 + 4(k+1))4 :
k^2 + 4k + 4 = (k+2)^2
(k+1)^2(k+2)^24
Simplificando dentro do parênteses:
Então, temos:

Resposta

Portanto, a igualdade é verdadeira para , completando a prova por indução.

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