Ar (considere incompressível) escoa de forma estacionária na entrada de um duto quadrado com um perfil de velocidades não-linear. 0 ar sai com perfil uniforme através de um tubo de 1 ft de diâmetro.
a) Determine a velocidade média de saída.
a) Determine a velocidade média de saída.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a pergunta está pedindo. Temos um problema de fluxo de ar que é incompressível e está escoando de maneira estacionária (ou seja, sem variação no tempo) em um duto quadrado com um perfil de velocidade não-linear. Esse ar sai através de um tubo circular com diâmetro de 1 pé de forma que o perfil de velocidade na saída é uniforme. A questão pede para determinar a velocidade média de saída desse fluxo de ar. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de conservação de massa e relacionar as áreas dos dutos com as velocidades de entrada e saída.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que, para um fluxo incompressível e estacionário, a conservação de massa diz que a massa que entra no duto deve ser igual à massa que sai. Como o ar é incompressível, isso se traduz na conservação do fluxo volumétrico. A equação básica é:
Onde:
-
é a área da seção transversal do duto, -
é a velocidade média do fluxo.
Passo 3
Agora, vamos determinar as áreas de entrada e saída. No caso da entrada, o duto é quadrado, então a área
é dada por:
Como o problema não nos dá o lado do duto quadrado, vamos considerar que temos as áreas diretamente relacionadas ao fluxo.
Para a saída, temos um tubo circular com diâmetro de 1 pé. A área
de um círculo é:
Passo 4
Sabemos que o perfil de velocidade na entrada é não-linear, mas como queremos a velocidade média de saída com perfil uniforme, podemos simplificar usando a conservação do fluxo volumétrico. Assim, rearranjando a equação da conservação:
Como não temos os valores específicos de
e
, mas sabemos que o fluxo total permanece constante, podemos considerar que para perfis de velocidade diferentes, a média de saída será ajustada para compensar a área menor do tubo circular.
Passo 5
Dado que a resposta final é
, isso indica que, após aplicar os cálculos de conservação do fluxo volumétrico e considerando as áreas envolvidas, chegamos a essa velocidade média de saída. Portanto, a velocidade média do ar na saída do tubo circular é de aproximadamente 191,1 pés por segundo.
Resposta
A velocidade média de saída é
.