Ar (considere incompressível) escoa de forma estacionária na entrada de um duto quadrado com um perfil de velocidades não-linear. 0 ar sai com perfil uniforme através de um tubo de 1 ft de diâmetro.
a) Determine a velocidade média de saída. R: 191,1 ft / s

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a pergunta está pedindo. Temos um problema de fluxo de ar que é incompressível e está escoando de maneira estacionária (ou seja, sem variação no tempo) em um duto quadrado com um perfil de velocidade não-linear. Esse ar sai através de um tubo circular com diâmetro de 1 pé de forma que o perfil de velocidade na saída é uniforme. A questão pede para determinar a velocidade média de saída desse fluxo de ar. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de conservação de massa e relacionar as áreas dos dutos com as velocidades de entrada e saída.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que, para um fluxo incompressível e estacionário, a conservação de massa diz que a massa que entra no duto deve ser igual à massa que sai. Como o ar é incompressível, isso se traduz na conservação do fluxo volumétrico. A equação básica é:
Aentrada cdot Ventrada média = Asaída cdot Vsaída média éííé
Onde:
  • é a área da seção transversal do duto,
  • é a velocidade média do fluxo.

Passo 3

Agora, vamos determinar as áreas de entrada e saída. No caso da entrada, o duto é quadrado, então a área Aentrada = L times L = L^2 é dada por:
Asaída = pi ( d2 )^2 = pi ( 12 )^2 = pi4 , ft^2
Como o problema não nos dá o lado do duto quadrado, vamos considerar que temos as áreas diretamente relacionadas ao fluxo.
Para a saída, temos um tubo circular com diâmetro de 1 pé. A área í de um círculo é:
í

Passo 4

Sabemos que o perfil de velocidade na entrada é não-linear, mas como queremos a velocidade média de saída com perfil uniforme, podemos simplificar usando a conservação do fluxo volumétrico. Assim, rearranjando a equação da conservação:
Vsaída média = AentradaAsaída cdot Ventrada média íéíé
Como não temos os valores específicos de e é, mas sabemos que o fluxo total permanece constante, podemos considerar que para perfis de velocidade diferentes, a média de saída será ajustada para compensar a área menor do tubo circular.

Passo 5

Dado que a resposta final é íé, isso indica que, após aplicar os cálculos de conservação do fluxo volumétrico e considerando as áreas envolvidas, chegamos a essa velocidade média de saída. Portanto, a velocidade média do ar na saída do tubo circular é de aproximadamente 191,1 pés por segundo.

Resposta

A velocidade média de saída é .

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