Um tanque cilíndrico com diâmetro de
contém água. Num instante
(
), uma válvula é aberta totalmente permitindo o escoamento para um reservatório mais abaixo. A água flui a uma taxa dada por:
Q - vazão em cm3/s;
k - constante com valor 1,1 ;
h - altura do líquido no tanque num tempo t , em cm .
Supondo escoamento sem atrito, determinar:
a) A equação de h em função de t. R:
k - constante com valor 1,1 ;
h - altura do líquido no tanque num tempo t , em cm .
Supondo escoamento sem atrito, determinar:
a) A equação de h em função de t. R:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um tanque cilíndrico com diâmetro de 0,5 metros que está cheio de água até uma altura de
metro no tempo inicial
. Uma válvula é aberta, e a água começa a escorrer para um reservatório mais baixo. A relação que descreve a vazão da água é
, onde
e
está em centímetros. Nosso objetivo aqui é encontrar a equação que relaciona a altura
da água no tanque com o tempo
.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender como a vazão
se relaciona com a variação da altura
ao longo do tempo. A vazão
representa o volume de água que sai do tanque por segundo. Como o tanque é cilíndrico, o volume de água no tanque é dado por
, onde
é o raio do tanque.
Passo 3
Vamos converter todas as unidades para serem consistentes. O diâmetro do tanque é 0,5 metros, então o raio
é metade disso:
Agora, a área da seção transversal do tanque é:
Passo 4
A variação do volume no tanque com o tempo é igual à vazão
que sai:
Substituindo
:
Passo 5
Isolando
:
Substituindo os valores de
e
:
Passo 6
Para resolver essa equação diferencial, separamos as variáveis
e
:
Integrando ambos os lados:
Passo 7
Determinar a constante de integração
usando a condição inicial
e
cm (já que
m):
Passo 8
Substituindo
na equação:
Dividindo ambos os lados por 2:
Calculando a constante numérica: