Um tanque cilíndrico com diâmetro de 0,5 m contém água. Num instante t=0 ( h=1 m ), uma válvula é aberta totalmente permitindo o escoamento para um reservatório mais abaixo. A água flui a uma taxa dada por:
Q=k cdot raizh
Q - vazão em cm3/s;
k - constante com valor 1,1 ;
h - altura do líquido no tanque num tempo t , em cm .
Supondo escoamento sem atrito, determinar:
a) A equação de h em função de t. R: ^raizh=-2,55 times 10^-4 t+10

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um tanque cilíndrico com diâmetro de 0,5 metros que está cheio de água até uma altura de metro no tempo inicial . Uma válvula é aberta, e a água começa a escorrer para um reservatório mais baixo. A relação que descreve a vazão da água é , onde e está em centímetros. Nosso objetivo aqui é encontrar a equação que relaciona a altura da água no tanque com o tempo .

Passo 2

Primeiro, precisamos entender como a vazão se relaciona com a variação da altura ao longo do tempo. A vazão representa o volume de água que sai do tanque por segundo. Como o tanque é cilíndrico, o volume de água no tanque é dado por , onde é o raio do tanque.

Passo 3

Vamos converter todas as unidades para serem consistentes. O diâmetro do tanque é 0,5 metros, então o raio r = 0,52 = 0,25 , m = 25 , cm é metade disso:
A = pi r^2 = pi (25)^2 = 625pi , cm^2
Agora, a área da seção transversal do tanque é:

Passo 4

A variação do volume no tanque com o tempo é igual à vazão dVdt = -Q que sai:
pi r^2 dhdt = -k raizh
Substituindo :

Passo 5

Isolando dhdt = -kpi r^2 raizh :
dhdt = -1,1625pi raizh
Substituindo os valores de e :

Passo 6

Para resolver essa equação diferencial, separamos as variáveis dhraizh = -1,1625pi dt e 2raizh = -1,1625pi t + C :
Integrando ambos os lados:

Passo 7

Determinar a constante de integração 2raiz100 = C Rightarrow 2 times 10 = C Rightarrow C = 20 usando a condição inicial e cm (já que m):

Passo 8

Substituindo 2raizh = -1,1625pi t + 20 na equação:
raizh = -1,11250pi t + 10
Dividindo ambos os lados por 2:
1,11250pi approx 2,55 times 10^-4
Calculando a constante numérica:

Resposta

raizh = -2,55 times 10^-4 , t + 10

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