Considere que a indústria de palhas de aço é caracterizada por ser uma concorrência perfeita, isto é, todas as firmas operam em competição perfeita. A função custo total para cada uma das firmas desta indústria segue a equação: C(q) = q^2 + 81. Pergunta-se:
Se a função de demanda do mercado por este produto for Q = 1800 - 50 P, qual a quantidade produzida pela indústria no longo prazo? Quantas firmas operam neste mercado?

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma indústria de palhas de aço que opera em concorrência perfeita. A função de custo total de cada firma é . Além disso, a demanda do mercado é dada por . Precisamos descobrir:
  1. Qual é a quantidade produzida pela indústria no longo prazo?
  2. Quantas firmas estão operando nesse mercado?
Para resolver isso, vamos precisar entender como funciona o equilíbrio no longo prazo em um mercado de concorrência perfeita, usando conceitos de custo total, custo médio, e equilíbrio de oferta e demanda.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o custo médio (AC) de uma firma. O custo médio é o custo total dividido pela quantidade produzida ( ):

Passo 3

No longo prazo, em concorrência perfeita, as firmas operam no ponto onde o preço ( ) é igual ao custo médio mínimo. Isso garante que não há lucro econômico e que as firmas cobrem todos os seus custos.
Para encontrar o custo médio mínimo, vamos derivar em relação a e igualar a zero:
Resolvendo para :
Então, o custo médio mínimo ocorre quando .

Passo 4

Agora que sabemos que cada firma produz unidades no longo prazo, podemos encontrar o preço de equilíbrio substituindo na função de custo médio mínimo:
Portanto, o preço de equilíbrio .

Passo 5

Com o preço de equilíbrio, vamos voltar à função de demanda do mercado para encontrar a quantidade total demandada ( ):
Então, a quantidade total produzida pela indústria no longo prazo é 900 unidades.

Passo 6

Para descobrir quantas firmas estão operando nesse mercado, dividimos a quantidade total produzida pela quantidade que cada firma produz:
ú

Resposta

No longo prazo, a indústria produz 900 unidades e 100 firmas operam nesse mercado.

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