Considere as integrais iteradas
onde é contínua em .
Esboçe a união das regiões de integração das integrais iteradas. Invertendo a ordem de integração das integrais iteradas, mostre que a soma dessas integrais é uma integral iterada.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o problema está pedindo. A gente tem duas integrais duplas:
Aqui, é uma função contínua em todo o plano. O que precisamos fazer é:
  1. Esboçar a união das regiões onde essas integrais estão sendo calculadas.
  2. Mudar a ordem de integração (ou seja, integrar em relação a primeiro e depois a ).
  3. Mostrar que a soma dessas duas integrais pode ser representada por uma única integral iterada com a ordem invertida.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as regiões de integração para cada uma das integrais.
Para a primeira integral:
Isso descreve uma região onde, para cada entre 0 e 1, varia de a . Geometricamente, isso forma uma parábola aberta para cima no plano .
Para a segunda integral:
Aqui, para cada entre 1 e , varia de a . Isso descreve a parte superior de um círculo de raio centrado na origem.

Passo 3

Agora, vamos visualizar a união dessas duas regiões:
  1. A primeira região é limitada pelas parábolas entre e .
  2. A segunda região é a parte do círculo entre e .
Juntas, essas regiões formam uma área contínua que vai de até , unindo a parte parabólica com a parte circular.

Passo 4

Agora, vamos inverter a ordem de integração. Originalmente, as integrais estão na ordem . Queremos reescrever em .
Para isso, precisamos determinar os limites de integração em termos de .
  • O intervalo de varia de a .
  • Para cada , varia de (da parábola) até (do círculo).

Passo 5

Com os novos limites, podemos escrever a soma das integrais como uma única integral iterada com a ordem invertida:

Resposta

A soma das integrais dadas pode ser expressa como uma única integral iterada na ordem invertida:

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