Considere as integrais iteradas
onde
é contínua em
.
Esboçe a união das regiões de integração das integrais iteradas. Invertendo a ordem de integração das integrais iteradas, mostre que a soma dessas integrais é uma integral iterada.
Esboçe a união das regiões de integração das integrais iteradas. Invertendo a ordem de integração das integrais iteradas, mostre que a soma dessas integrais é uma integral iterada.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que o problema está pedindo. A gente tem duas integrais duplas:
Aqui,
é uma função contínua em todo o plano. O que precisamos fazer é:
- Esboçar a união das regiões onde essas integrais estão sendo calculadas.
- Mudar a ordem de integração (ou seja, integrar em relação a
primeiro e depois a ). - Mostrar que a soma dessas duas integrais pode ser representada por uma única integral iterada com a ordem invertida.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as regiões de integração para cada uma das integrais.
Para a primeira integral:
Isso descreve uma região onde, para cada
entre 0 e 1,
varia de
a
. Geometricamente, isso forma uma parábola aberta para cima no plano
.
Para a segunda integral:
Aqui, para cada
entre 1 e
,
varia de
a
. Isso descreve a parte superior de um círculo de raio
centrado na origem.
Passo 3
Agora, vamos visualizar a união dessas duas regiões:
- A primeira região é limitada pelas parábolas
entre e . - A segunda região é a parte do círculo
entre e .
Juntas, essas regiões formam uma área contínua que vai de
até
, unindo a parte parabólica com a parte circular.
Passo 4
Agora, vamos inverter a ordem de integração. Originalmente, as integrais estão na ordem
. Queremos reescrever em
.
Para isso, precisamos determinar os limites de integração em termos de
.
- O intervalo de
varia de a . - Para cada
, varia de (da parábola) até (do círculo).
Passo 5
Com os novos limites, podemos escrever a soma das integrais como uma única integral iterada com a ordem invertida:
Resposta
A soma das integrais dadas pode ser expressa como uma única integral iterada na ordem invertida:
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, com constante de proporcionalidade
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. Faça um esboço do sólido
Considere as integrais iteradas
onde
é contínua em
.
Calcule a área da união das regiões de integração das integrais iteradas.
Calcule a área da união das regiões de integração das integrais iteradas.
Defina precisamente conjunto de conteúdo nulo em
.