Considere as integrais iteradas
integral0^1(integral-raizy^raizy f(x, y) d x) d y e integral1^raiz2(integral-raiz2-y^2^raiz2-y^2 f(x, y) d x) d y
onde f(x, y) é contínua em R^2.
Esboçe a união das regiões de integração das integrais iteradas. Invertendo a ordem de integração das integrais iteradas, mostre que a soma dessas integrais é uma integral iterada.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o problema está pedindo. A gente tem duas integrais duplas:
integral0^1(integral-raizy^raizy f(x, y) , dx) dy e integral1^raiz2(integral-raiz2-y^2^raiz2-y^2 f(x, y) , dx) dy
Aqui, f(x, y) é uma função contínua em todo o plano. O que precisamos fazer é:
  1. Esboçar a união das regiões onde essas integrais estão sendo calculadas.
  2. Mudar a ordem de integração (ou seja, integrar em relação a y primeiro e depois a x).
  3. Mostrar que a soma dessas duas integrais pode ser representada por uma única integral iterada com a ordem invertida.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as regiões de integração para cada uma das integrais.
Para a primeira integral:
x in [-raizy, raizy] e y in [0, 1]
Isso descreve uma região onde, para cada y entre 0 e 1, x varia de -raizy a raizy. Geometricamente, isso forma uma parábola aberta para cima no plano xy.
Para a segunda integral:
x in [-raiz2 - y^2, raiz2 - y^2] e y in [1, raiz2]
Aqui, para cada y entre 1 e raiz2, x varia de -raiz2 - y^2 a raiz2 - y^2. Isso descreve a parte superior de um círculo de raio raiz2 centrado na origem.

Passo 3

Agora, vamos visualizar a união dessas duas regiões:
  1. A primeira região é limitada pelas parábolas x = pm raizy entre y = 0 e y = 1.
  2. A segunda região é a parte do círculo x^2 + y^2 = 2 entre y = 1 e y = raiz2.
Juntas, essas regiões formam uma área contínua que vai de y = 0 até y = raiz2, unindo a parte parabólica com a parte circular.

Passo 4

Agora, vamos inverter a ordem de integração. Originalmente, as integrais estão na ordem dx , dy. Queremos reescrever em dy , dx.
Para isso, precisamos determinar os limites de integração em termos de x.
  • O intervalo de x varia de -raiz2 a raiz2.
  • Para cada x, y varia de x^2 (da parábola) até raiz2 - x^2 (do círculo).

Passo 5

Com os novos limites, podemos escrever a soma das integrais como uma única integral iterada com a ordem invertida:
integral-raiz2^raiz2 ( integralx^2^raiz2 - x^2 f(x, y) , dy ) dx

Resposta

A soma das integrais dadas pode ser expressa como uma única integral iterada na ordem invertida:
integral-raiz2^raiz2 ( integralx^2^raiz2 - x^2 f(x, y) , dy ) dx

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