Considere as integrais iteradas
integral0^1(integral-raizy^raizy f(x, y) d x) d y e integral1^raiz2(integral-raiz2-y^2^raiz2-y^2 f(x, y) d x) d y
onde f(x, y) é contínua em R^2.
Calcule a área da união das regiões de integração das integrais iteradas.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a área da união das regiões de integração de duas integrais iteradas. Isso envolve entender as áreas onde cada integral está “agindo” no plano xy. Vamos usar conceitos de cálculo de área e integração dupla para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar as duas regiões de integração:
  1. Primeira Integral:
    integral0^1(integral-raizy^raizy f(x, y) , dx) dy
    Aqui, integral1^raiz2(integral-raiz2-y^2^raiz2-y^2 f(x, y) , dx) dy varia de 0 a 1, e para cada , varia de a .
  2. Segunda Integral:
    Neste caso, varia de 1 a , e para cada , varia de a .

Passo 3

Vamos calcular a área de cada uma dessas regiões separadamente e depois somá-las, já que as regiões não se sobrepõem (os intervalos de são distintos: 0 a 1 e 1 a ).

Passo 4

Área da Primeira Região:
Para a primeira integral, a área A1 = integral0^1 ( integral-raizy^raizy dx ) dy é dada por:
integral-raizy^raizy dx = 2raizy
A integral interna em A1 = integral0^1 2raizy , dy representa a largura da região para cada :
Então, substituindo:

Passo 5

Vamos calcular A1 = 2 integral0^1 y^1/2 , dy = 2 [ y^3/232 ]0^1 = 2 ( 23 ) (1^3/2 - 0) = 43 :

Passo 6

Área da Segunda Região:
Para a segunda integral, a área A2 = integral1^raiz2 ( integral-raiz2 - y^2^raiz2 - y^2 dx ) dy é:
integral-raiz2 - y^2^raiz2 - y^2 dx = 2raiz2 - y^2
A integral interna em A2 = integral1^raiz2 2raiz2 - y^2 , dy é:
Então, substituindo:

Passo 7

Para calcular dy = raiz2 cos theta , dtheta , vamos fazer uma substituição trigonométrica. Vamos usar raiz2 - y^2 = raiz2 - 2sin^2 theta = raiz2(1 - sin^2 theta) = raiz2 cos theta , onde varia de a .
Dessa forma:
E:

Passo 8

Substituindo na integral:
A2 = 2 integralpi4^pi2 raiz2 cos theta times raiz2 cos theta , dtheta = 2 times 2 integralpi4^pi2 cos^2 theta , dtheta = 4 integralpi4^pi2 cos^2 theta , dtheta

Passo 9

Usamos a identidade trigonométrica A2 = 4 integralpi4^pi2 1 + cos 2theta2 , dtheta = 2 integralpi4^pi2 (1 + cos 2theta) , dtheta :

Passo 10

Integrando:
A2 = 2 [ theta + sin 2theta2 ]pi4^pi2 = 2 ( ( pi2 + sin pi2 ) - ( pi4 + sin pi22 ) )
Sabendo que A2 = 2 ( pi2 - pi4 - 12 ) = 2 ( pi4 - 12 ) = pi2 - 1 e :

Passo 11

Agora, somamos as áreas das duas regiões para obter a área da união:
Atotal = A1 + A2 = 43 + ( pi2 - 1 ) = pi2 + 43 - 1 = pi2 + 13

Resposta

A área da união das regiões de integração é .

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