Considere as integrais iteradas
onde
é contínua em
.
Calcule a área da união das regiões de integração das integrais iteradas.
Calcule a área da união das regiões de integração das integrais iteradas.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a área da união das regiões de integração de duas integrais iteradas. Isso envolve entender as áreas onde cada integral está “agindo” no plano xy. Vamos usar conceitos de cálculo de área e integração dupla para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar as duas regiões de integração:
-
Primeira Integral:Aqui,
varia de 0 a 1, e para cada , varia de a . -
Segunda Integral:Neste caso,
varia de 1 a , e para cada , varia de a .
Passo 3
Vamos calcular a área de cada uma dessas regiões separadamente e depois somá-las, já que as regiões não se sobrepõem (os intervalos de
são distintos: 0 a 1 e 1 a
).
Passo 4
Área da Primeira Região:
Para a primeira integral, a área
é dada por:
A integral interna em
representa a largura da região para cada
:
Então, substituindo:
Passo 5
Vamos calcular
:
Passo 6
Área da Segunda Região:
Para a segunda integral, a área
é:
A integral interna em
é:
Então, substituindo:
Passo 7
Para calcular
, vamos fazer uma substituição trigonométrica. Vamos usar
, onde
varia de
a
.
Dessa forma:
E:
Passo 8
Substituindo na integral:
Passo 9
Usamos a identidade trigonométrica
:
Passo 10
Integrando:
Sabendo que
e
:
Passo 11
Agora, somamos as áreas das duas regiões para obter a área da união:
Resposta
A área da união das regiões de integração é
.
Exercícios relacionados
Considere as integrais iteradas
onde
é contínua em
.
Esboçe a união das regiões de integração das integrais iteradas. Invertendo a ordem de integração das integrais iteradas, mostre que a soma dessas integrais é uma integral iterada.
Esboçe a união das regiões de integração das integrais iteradas. Invertendo a ordem de integração das integrais iteradas, mostre que a soma dessas integrais é uma integral iterada.
Considere o sólido
Supondo densidade de massa do ponto
é proporcional a distância de
ao eixo
, com constante de proporcionalidade
, determine a massa desse sólido.
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.
Decida se cada uma das séries abaixo é convergente ou divergente. Se possível, calcule sua soma: