Considere as integrais iteradas
onde é contínua em .
Calcule a área da união das regiões de integração das integrais iteradas.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a área da união das regiões de integração de duas integrais iteradas. Isso envolve entender as áreas onde cada integral está “agindo” no plano xy. Vamos usar conceitos de cálculo de área e integração dupla para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar as duas regiões de integração:
  1. Primeira Integral:
    Aqui, varia de 0 a 1, e para cada , varia de a .
  2. Segunda Integral:
    Neste caso, varia de 1 a , e para cada , varia de a .

Passo 3

Vamos calcular a área de cada uma dessas regiões separadamente e depois somá-las, já que as regiões não se sobrepõem (os intervalos de são distintos: 0 a 1 e 1 a ).

Passo 4

Área da Primeira Região:
Para a primeira integral, a área é dada por:
A integral interna em representa a largura da região para cada :
Então, substituindo:

Passo 5

Vamos calcular :

Passo 6

Área da Segunda Região:
Para a segunda integral, a área é:
A integral interna em é:
Então, substituindo:

Passo 7

Para calcular , vamos fazer uma substituição trigonométrica. Vamos usar , onde varia de a .
Dessa forma:
E:

Passo 8

Substituindo na integral:

Passo 9

Usamos a identidade trigonométrica :

Passo 10

Integrando:
Sabendo que e :

Passo 11

Agora, somamos as áreas das duas regiões para obter a área da união:

Resposta

A área da união das regiões de integração é .

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