Defina precisamente conjunto de conteúdo nulo em R^2.

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem um exercício que pede para definir de forma precisa o conjunto de conteúdo nulo no espaço R^2. Isso está ligado à matéria de Teoria da Medida, que estuda como medir o “tamanho” de conjuntos. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa um conjunto ter conteúdo nulo e como isso se aplica no plano bidimensional R^2.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é conteúdo nulo. Em termos simples, um conjunto tem conteúdo nulo se, ao medir seu “tamanho” usando a medida de Lebesgue, o resultado for zero. A medida de Lebesgue é uma forma mais geral de medir conjuntos do que apenas usar comprimentos, áreas ou volumes.

Passo 3

No espaço R^2, que é basicamente o nosso plano comum com duas dimensões, medir o conteúdo de um conjunto significa calcular sua área de forma precisa. Então, um conjunto de conteúdo nulo em R^2 é um conjunto que, mesmo podendo ter muitos pontos ou uma forma complicada, tem uma área “total” igual a zero.

Passo 4

Para ser mais técnico, um conjunto A ⊆ R^2 é dito ter conteúdo nulo se, para todo , existe uma contagem infinita de retângulos que cobrem A tal que a soma das áreas desses retângulos é menor que epsilon. Isso significa que podemos “aproximar” o conjunto com áreas cada vez menores, chegando a zero.

Resposta

Um conjunto A ⊆ R^2 é chamado de conjunto de conteúdo nulo se, para todo número positivo , existe uma sequência de retângulos que cobre A de forma que a soma das áreas desses retângulos satisfaz Á.

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