Defina precisamente conjunto de conteúdo nulo em
.
Passo 1
Então, vamos lá! A gente tem um exercício que pede para definir de forma precisa o conjunto de conteúdo nulo no espaço
. Isso está ligado à matéria de Teoria da Medida, que estuda como medir o “tamanho” de conjuntos. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa um conjunto ter conteúdo nulo e como isso se aplica no plano bidimensional
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é conteúdo nulo. Em termos simples, um conjunto tem conteúdo nulo se, ao medir seu “tamanho” usando a medida de Lebesgue, o resultado for zero. A medida de Lebesgue é uma forma mais geral de medir conjuntos do que apenas usar comprimentos, áreas ou volumes.
Passo 3
No espaço
, que é basicamente o nosso plano comum com duas dimensões, medir o conteúdo de um conjunto significa calcular sua área de forma precisa. Então, um conjunto de conteúdo nulo em
é um conjunto que, mesmo podendo ter muitos pontos ou uma forma complicada, tem uma área “total” igual a zero.
Passo 4
Para ser mais técnico, um conjunto
é dito ter conteúdo nulo se, para todo
, existe uma contagem infinita de retângulos
que cobrem
tal que a soma das áreas desses retângulos é menor que
. Isso significa que podemos “aproximar” o conjunto com áreas cada vez menores, chegando a zero.
Resposta
Um conjunto
é chamado de conjunto de conteúdo nulo se, para todo número positivo
, existe uma sequência de retângulos
que cobre
de forma que a soma das áreas desses retângulos satisfaz
.
Exercícios relacionados
Considere as integrais iteradas
onde
é contínua em
.
Calcule a área da união das regiões de integração das integrais iteradas.
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.
Esboçe a união das regiões de integração das integrais iteradas. Invertendo a ordem de integração das integrais iteradas, mostre que a soma dessas integrais é uma integral iterada.
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Decida se cada uma das séries abaixo é convergente ou divergente. Se possível, calcule sua soma:
Determine se a sequência é divergente ou convergente, se for convergente, determine o seu limite.