Decida se cada uma das séries abaixo é convergente ou divergente. Se possível, calcule sua soma: sumn=0^infty sin ^2 n(x),|x|

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos a seguinte questão: determinar se a série é convergente ou divergente para . Se for convergente, a gente também calcula a soma dela. Para resolver isso, vamos usar o conceito de séries geométricas, que é parte da matéria de sequências e séries em matemática.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a expressão geral da série: . Isso significa que a gente está elevando o seno de ao quadrado e depois elevando o resultado a . Podemos reescrever essa expressão como . Isso é importante porque nos lembra uma série geométrica padrão, que tem a forma , onde é a razão da série.

Passo 3

A série geométrica converge se o valor absoluto de for menor que 1, ou seja, . Se isso acontecer, a soma da série é dada por . No nosso caso, . Precisamos verificar se .

Passo 4

Sabemos que o seno de qualquer ângulo está entre -1 e 1, então está em . Quando elevamos ao quadrado, fica entre 0 e 1, ou seja, . Isso satisfaz a condição , o que significa que nossa série geométrica converge para .

Passo 5

Agora que sabemos que a série converge, podemos calcular a soma usando a fórmula da série geométrica. Substituindo sumn=0^infty sin^2n(x) = 11 - sin^2(x) por , temos:

Passo 6

Podemos simplificar essa expressão lembrando da identidade trigonométrica básica: 11 - sin^2(x) = 1cos^2(x) = sec^2(x) . Substituindo na fórmula da soma, ficamos com:

Resposta

A série é convergente para e sua soma é igual a .

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