Decida se cada uma das séries abaixo é convergente ou divergente. Se possível, calcule sua soma:
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos a seguinte questão: determinar se a série
é convergente ou divergente para
. Se for convergente, a gente também calcula a soma dela. Para resolver isso, vamos usar o conceito de séries geométricas, que é parte da matéria de sequências e séries em matemática.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a expressão geral da série:
. Isso significa que a gente está elevando o seno de
ao quadrado e depois elevando o resultado a
. Podemos reescrever essa expressão como
. Isso é importante porque nos lembra uma série geométrica padrão, que tem a forma
, onde
é a razão da série.
Passo 3
A série geométrica
converge se o valor absoluto de
for menor que 1, ou seja,
. Se isso acontecer, a soma da série é dada por
. No nosso caso,
. Precisamos verificar se
.
Passo 4
Sabemos que o seno de qualquer ângulo está entre -1 e 1, então
está em
. Quando elevamos ao quadrado,
fica entre 0 e 1, ou seja,
. Isso satisfaz a condição
, o que significa que nossa série geométrica converge para
.
Passo 5
Agora que sabemos que a série converge, podemos calcular a soma usando a fórmula da série geométrica. Substituindo
por
, temos:
Passo 6
Podemos simplificar essa expressão lembrando da identidade trigonométrica básica:
. Substituindo na fórmula da soma, ficamos com:
Resposta
A série
é convergente para
e sua soma é igual a
.
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.
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onde
é contínua em
.
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Determine os quatro primeiros termos de cada seqüência, analise a sua convergência e encontre o limite caso exista:
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