Determine o volume da região abaixo do gráfico de
e acima do plano
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar o volume da região que fica abaixo do gráfico da função
e acima do plano
. Isso faz parte da matéria de Cálculo Multivariável, mais especificamente usando integrais duplas. Para resolver, vamos precisar entender como montar e calcular uma integral dupla sobre a região definida.
Passo 2
Primeiro, vamos entender qual é a região de integração. A função
forma um plano inclinado que intersecta o plano
formando um quadrado. Precisamos descobrir os limites de
e
onde
é positiva, ou seja, onde
.
Passo 3
Resolvendo a inequação
, temos:
Isso define um quadrado no plano
com vértices em
,
,
e
.
Passo 4
Como a região é simétrica em relação aos eixos, podemos calcular a integral em um quarto da região e multiplicar por 4 para facilitar os cálculos. Vamos considerar
e
. Nessa parte, a inequação fica:
Então,
varia de 0 a
e
varia de 0 a 2.
Passo 5
Agora, montamos a integral dupla para calcular o volume no primeiro quadrante:
A função
representa a altura da região em cada ponto
.
Passo 6
Vamos calcular a integral interna primeiro:
Substituindo os limites:
Passo 7
Agora, integramos o resultado em relação a
:
Expandindo
:
Substituindo os limites:
Passo 8
Como calculamos apenas um quarto do volume total, multiplicamos por 4 para obter o volume completo:
Resposta
O volume da região é
unidades cúbicas.
Exercícios relacionados
Nos itens abaixo, calcule as integrais iteradas e esboce a região determinada pelos limites de integração:
Considere a integral dupla
, onde
é a região do plano
delimitada pela parábola
e a reta
.
a) Determine o valor da integral , calculando-a explicitamente.
a) Determine o valor da integral
Nos itens abaixo, esboce a região de integração, inverta a ordem de integração e calcule a integral iterada obtida:
Reescreva a soma de integrais abaixo como uma única integral iterada através da mudança de ordem de integração e encontre o valor da integral resultante: