Determine o volume da região abaixo do gráfico de e acima do plano .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar o volume da região que fica abaixo do gráfico da função e acima do plano . Isso faz parte da matéria de Cálculo Multivariável, mais especificamente usando integrais duplas. Para resolver, vamos precisar entender como montar e calcular uma integral dupla sobre a região definida.

Passo 2

Primeiro, vamos entender qual é a região de integração. A função forma um plano inclinado que intersecta o plano formando um quadrado. Precisamos descobrir os limites de e onde é positiva, ou seja, onde .

Passo 3

Resolvendo a inequação , temos:
Isso define um quadrado no plano com vértices em , , e .

Passo 4

Como a região é simétrica em relação aos eixos, podemos calcular a integral em um quarto da região e multiplicar por 4 para facilitar os cálculos. Vamos considerar e . Nessa parte, a inequação fica:
Então, varia de 0 a e varia de 0 a 2.

Passo 5

Agora, montamos a integral dupla para calcular o volume no primeiro quadrante:
A função representa a altura da região em cada ponto .

Passo 6

Vamos calcular a integral interna primeiro:
Substituindo os limites:

Passo 7

Agora, integramos o resultado em relação a :
Expandindo :
Substituindo os limites:

Passo 8

Como calculamos apenas um quarto do volume total, multiplicamos por 4 para obter o volume completo:

Resposta

O volume da região é unidades cúbicas.

Exercícios relacionados

Nos itens abaixo, calcule as integrais iteradas e esboce a região determinada pelos limites de integração:
Considere a integral dupla , onde é a região do plano delimitada pela parábola e a reta .
a) Determine o valor da integral , calculando-a explicitamente.
Nos itens abaixo, esboce a região de integração, inverta a ordem de integração e calcule a integral iterada obtida:
Reescreva a soma de integrais abaixo como uma única integral iterada através da mudança de ordem de integração e encontre o valor da integral resultante: