Considere a integral dupla
, onde
é a região do plano
delimitada pela parábola
e a reta
.
b) Agora, argumente porque o valor de
pode ser obtido sem realizar nenhum cálculo explicíto.
b) Agora, argumente porque o valor de
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente mostrar por que o valor da integral dupla
pode ser encontrado sem fazer nenhum cálculo complicadão. A matéria envolvida aqui é o cálculo integral, mais especificamente integrais duplas e propriedades de funções ímpares e regiões simétricas. Vamos precisar entender sobre simetria de funções e como isso pode simplificar nossos cálculos.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a região
que está delimitada pela parábola
e pela reta
. Essa parábola é simétrica em relação ao eixo
, ou seja, para cada ponto
na região, existe um ponto
também na região. Isso significa que a região
é simétrica em relação ao eixo
.
Passo 3
Agora, vamos analisar a função que estamos integrando, que é
. Essa função é ímpar em relação ao eixo
porque
muda de sinal quando
muda para
(ou seja,
).
Passo 4
Quando temos uma função ímpar sendo integrada sobre uma região simétrica em relação ao eixo que anula a paridade da função (neste caso, o eixo
), o resultado da integral será zero. Isso acontece porque para cada ponto
contribuindo com
, o ponto
contribui com
, cancelando-se mutuamente.
Passo 5
Então, sem precisar calcular a integral explicitamente, podemos concluir que, devido à simetria da região
e à propriedade ímpar da função
, a integral dupla
será igual a zero.
Resposta
O valor de
é zero.
Exercícios relacionados
Nos itens abaixo, calcule as integrais iteradas e esboce a região determinada pelos limites de integração:
Seja
. Sem explicitamente calcular qualquer integral iterada, determine o valor de
.
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