Considere a integral dupla integral duplaD x^3 d A, onde D é a região do plano x y delimitada pela parábola y=4-x^2 e a reta y=0.
b) Agora, argumente porque o valor de integral duplaD x^3 d A pode ser obtido sem realizar nenhum cálculo explicíto.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente mostrar por que o valor da integral dupla integral duplaD x^3 d A pode ser encontrado sem fazer nenhum cálculo complicadão. A matéria envolvida aqui é o cálculo integral, mais especificamente integrais duplas e propriedades de funções ímpares e regiões simétricas. Vamos precisar entender sobre simetria de funções e como isso pode simplificar nossos cálculos.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a região D que está delimitada pela parábola y = 4 - x^2 e pela reta y = 0. Essa parábola é simétrica em relação ao eixo y, ou seja, para cada ponto (x, y) na região, existe um ponto (-x, y) também na região. Isso significa que a região D é simétrica em relação ao eixo y.

Passo 3

Agora, vamos analisar a função que estamos integrando, que é x^3. Essa função é ímpar em relação ao eixo y porque x^3 muda de sinal quando x muda para -x (ou seja, (-x)^3 = -x^3).

Passo 4

Quando temos uma função ímpar sendo integrada sobre uma região simétrica em relação ao eixo que anula a paridade da função (neste caso, o eixo y), o resultado da integral será zero. Isso acontece porque para cada ponto (x, y) contribuindo com x^3, o ponto (-x, y) contribui com -x^3, cancelando-se mutuamente.

Passo 5

Então, sem precisar calcular a integral explicitamente, podemos concluir que, devido à simetria da região D e à propriedade ímpar da função x^3, a integral dupla integral duplaD x^3 d A será igual a zero.

Resposta

O valor de integral duplaD x^3 d A é zero.

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