Considere a integral dupla , onde é a região do plano delimitada pela parábola e a reta .
b) Agora, argumente porque o valor de pode ser obtido sem realizar nenhum cálculo explicíto.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente mostrar por que o valor da integral dupla pode ser encontrado sem fazer nenhum cálculo complicadão. A matéria envolvida aqui é o cálculo integral, mais especificamente integrais duplas e propriedades de funções ímpares e regiões simétricas. Vamos precisar entender sobre simetria de funções e como isso pode simplificar nossos cálculos.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a região que está delimitada pela parábola e pela reta . Essa parábola é simétrica em relação ao eixo , ou seja, para cada ponto na região, existe um ponto também na região. Isso significa que a região é simétrica em relação ao eixo .

Passo 3

Agora, vamos analisar a função que estamos integrando, que é . Essa função é ímpar em relação ao eixo porque muda de sinal quando muda para (ou seja, ).

Passo 4

Quando temos uma função ímpar sendo integrada sobre uma região simétrica em relação ao eixo que anula a paridade da função (neste caso, o eixo ), o resultado da integral será zero. Isso acontece porque para cada ponto contribuindo com , o ponto contribui com , cancelando-se mutuamente.

Passo 5

Então, sem precisar calcular a integral explicitamente, podemos concluir que, devido à simetria da região e à propriedade ímpar da função , a integral dupla será igual a zero.

Resposta

O valor de é zero.

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