Esboce a regiāo de integração e inverta a ordem de integração. Seja
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma integral dupla:
O objetivo aqui é esboçar a região de integração e inverter a ordem de integração. Isso faz parte do estudo de integrais múltiplas em cálculo, onde entendemos melhor como as variáveis interagem dentro dos limites dados. Para resolver isso, vamos precisar entender como a região está delimitada e então reorganizar as integrais de acordo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região de integração original. Temos
variando de 0 a 1 e, para cada
,
varia de
até 1. Isso significa que estamos olhando para uma área no primeiro quadrante onde
está sempre acima da linha
e abaixo de
.
Vamos desenhar isso:
- No eixo
, vai de 0 a 1. - No eixo
, para cada , começa em e vai até .
Assim, a região é um triângulo retângulo com vértices em (0,0), (1,1) e (0,1).
Passo 3
Agora que temos a região de integração visualizada, vamos inverter a ordem das integrais. Isso significa que, ao inv��s de integrar primeiro em
e depois em
, vamos integrar primeiro em
e depois em
.
Para fazer isso, precisamos identificar os novos limites de integração:
-
varia de 0 a 1. - Para cada
, varia de 0 até (já que ).
Portanto, a integral invertida fica:
Passo 4
Vamos fazer uma verificação rápida para ter certeza de que invertemos corretamente a região de integração. Originalmente, para cada
de 0 a 1,
vai de
a 1. Após inverter, para cada
de 0 a 1,
vai de 0 a
. Isso mantém a mesma área de integração, então está correto!
Resposta
A ordem de integração invertida é:
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Encontre a área (usando integrais definidas) da região limitada pelas curvas dadas. Esboce o gráfico.
e
;
Seja a EDO
a)
Encontre uma solução particular da forma
;
Considere a integral dupla
onde
é a região limitada pelas retas
e
. Calcule a integral usando a seguinte mudança de variáveis:
.
Faça um esboço de
. Seja
o sólido limitado pelo cilindro parabólico
e os planos
e
.