Encontre a área (usando integrais definidas) da região limitada pelas curvas dadas. Esboce o gráfico.
e ;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a área da região limitada pelas curvas e no intervalo de de a . Para isso, vamos usar integrais definidas, que são ferramentas matemáticas que nos ajudam a calcular áreas sob curvas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor as curvas e . O gráfico de é uma curva que oscila entre 1 e -1, começando em com valor 1. Já é simplesmente o oposto de , então começa em -1 e vai até 1.

Passo 3

Vamos identificar onde essas duas curvas se cruzam no intervalo dado. Para isso, igualamos as duas funções:
Somando dos dois lados, temos:
Sabemos que quando e dentro do intervalo considerado.

Passo 4

Agora, vamos dividir o intervalo de integração em partes onde uma função está acima da outra. Observando o gráfico, vemos que:
  • De a , está acima de .
  • De a , está acima de .

Passo 5

Para calcular a área entre duas curvas, usamos a fórmula:
Á
Onde é a função de cima e a de baixo. Vamos aplicar isso em cada intervalo.

Passo 6

Calculando a área de a :
Á
Integrando:

Passo 7

Calculando a área de a :
Á
Integrando:

Passo 8

Agora, somamos as duas áreas encontradas:
ÁÁÁ

Resposta

A área da região limitada pelas curvas e no intervalo de é unidades quadradas.

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Seja a EDO
a) Encontre uma solução particular da forma ;
Considere uma função real , periódica de período , dada, no intervalo ( ), por . Esta é uma função par ou ímpar? explique;
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Considere a integral dupla
onde é a região limitada pelas retas e . Calcule a integral usando a seguinte mudança de variáveis: .