Encontre a área (usando integrais definidas) da região limitada pelas curvas dadas. Esboce o gráfico.
e
;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a área da região limitada pelas curvas
e
no intervalo de
de
a
. Para isso, vamos usar integrais definidas, que são ferramentas matemáticas que nos ajudam a calcular áreas sob curvas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor as curvas
e
. O gráfico de
é uma curva que oscila entre 1 e -1, começando em
com valor 1. Já
é simplesmente o oposto de
, então começa em -1 e vai até 1.
Passo 3
Vamos identificar onde essas duas curvas se cruzam no intervalo dado. Para isso, igualamos as duas funções:
Somando
dos dois lados, temos:
Sabemos que
quando
e
dentro do intervalo considerado.
Passo 4
Agora, vamos dividir o intervalo de integração em partes onde uma função está acima da outra. Observando o gráfico, vemos que:
- De
a , está acima de . - De
a , está acima de .
Passo 5
Para calcular a área entre duas curvas, usamos a fórmula:
Onde
é a função de cima e
a de baixo. Vamos aplicar isso em cada intervalo.
Passo 6
Calculando a área de
a
:
Integrando:
Passo 7
Calculando a área de
a
:
Integrando:
Passo 8
Agora, somamos as duas áreas encontradas:
Resposta
A área da região limitada pelas curvas
e
no intervalo de
é
unidades quadradas.
Exercícios relacionados
Seja a EDO
a)
Encontre uma solução particular da forma
;
Considere uma função real
, periódica de período
, dada, no intervalo (
), por
.
Esta é uma função par ou ímpar? explique;
Esboce a regiāo de integração e inverta a ordem de integração. Seja
Considere a integral dupla
onde
é a região limitada pelas retas
e
. Calcule a integral usando a seguinte mudança de variáveis:
.