Considere a região plana R situada no primeiro quadrante que é limitada pela parábola de equação y=x^2, pelo eixo x e pelas retas de equações x=1 e x=2. Escreva (sem calcular!) a integral dupla integral duplaR f(x, y) d A como integral dupla iterada nas ordens d x d y e d y d x.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma região plana no primeiro quadrante limitada pela parábola , pelo eixo e pelas retas e . O conteúdo que vamos usar aqui envolve integrais duplas e a configuração dos limites de integração para expressar a integral dupla como uma integral iterada, tanto na ordem quanto na ordem . Vamos precisar entender como descrever a região de duas maneiras diferentes para configurar essas integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região . Ela está no primeiro quadrante, ou seja, onde e são positivos. A parábola é uma curva que abre para cima. As retas verticais e cortam essa parábola, delimitando a região entre esses dois valores de . Além disso, a região está limitada pelo eixo , que é .

Passo 3

Agora, para escrever a integral dupla como uma integral iterada na ordem , precisamos determinar para cada valor de quais são os limites de . Observando a parábola , podemos resolver para em função de : . Então, para um dado , varia de até 2 (já que a reta é o limite superior).

Passo 4

Além disso, precisamos determinar os limites de . A parábola atinge seu mínimo em quando , e no máximo em quando . Portanto, varia de 0 a 4.

Passo 5

Com isso, a integral dupla na ordem integral duplaR f(x, y) ,dA = integral0^4 integralraizy^2 f(x, y) ,dx,dy fica:

Passo 6

Agora, vamos fazer o mesmo processo, mas na ordem . Para isso, fixamos um valor de e determinamos os limites de . A partir da parábola , sabemos que começa na curva e vai até o eixo .

Passo 7

Os limites de já estão dados pelas retas e . Então, varia de 1 a 2. Para cada , varia de 0 até .

Passo 8

Assim, a integral dupla na ordem integral duplaR f(x, y) ,dA = integral1^2 integral0^x^2 f(x, y) ,dy,dx fica:

Resposta

As integrais duplas iteradas são:
integral duplaR f(x, y) ,dA = integral0^4 integralraizy^2 f(x, y) ,dx,dy
e
integral duplaR f(x, y) ,dA = integral1^2 integral0^x^2 f(x, y) ,dy,dx

Exercícios relacionados