Considere a região plana
situada no primeiro quadrante que é limitada pela parábola de equação
, pelo eixo
e pelas retas de equações
e
. Escreva (sem calcular!) a integral dupla
como integral dupla iterada nas ordens
e
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma região plana
no primeiro quadrante limitada pela parábola
, pelo eixo
e pelas retas
e
. O conteúdo que vamos usar aqui envolve integrais duplas e a configuração dos limites de integração para expressar a integral dupla como uma integral iterada, tanto na ordem
quanto na ordem
. Vamos precisar entender como descrever a região
de duas maneiras diferentes para configurar essas integrais.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região
. Ela está no primeiro quadrante, ou seja, onde
e
são positivos. A parábola
é uma curva que abre para cima. As retas verticais
e
cortam essa parábola, delimitando a região entre esses dois valores de
. Além disso, a região está limitada pelo eixo
, que é
.
Passo 3
Agora, para escrever a integral dupla como uma integral iterada na ordem
, precisamos determinar para cada valor de
quais são os limites de
. Observando a parábola
, podemos resolver para
em função de
:
. Então, para um dado
,
varia de
até 2 (já que a reta
é o limite superior).
Passo 4
Além disso, precisamos determinar os limites de
. A parábola
atinge seu mínimo em
quando
, e no máximo em
quando
. Portanto,
varia de 0 a 4.
Passo 5
Com isso, a integral dupla na ordem
fica:
Passo 6
Agora, vamos fazer o mesmo processo, mas na ordem
. Para isso, fixamos um valor de
e determinamos os limites de
. A partir da parábola
, sabemos que
começa na curva
e vai até o eixo
.
Passo 7
Os limites de
já estão dados pelas retas
e
. Então,
varia de 1 a 2. Para cada
,
varia de 0 até
.
Passo 8
Assim, a integral dupla na ordem
fica:
Resposta
As integrais duplas iteradas são:
e
Exercícios relacionados
Expresse
como uma integral dupla iterada com a ordem de integração invertida.
Considere a integral
.
Calcule o valor de (sugestão use a ordem
).
Calcule o valor de
Considere a região plana
delimitada pelo eixo
e pelas retas de equações
e
. Calcule o valor da integral dupla
.
Considere a integral dupla iterada
Esboce a região
do plano definida pela integral
.