Considere a região plana delimitada pelo eixo e pelas retas de equações e . Calcule o valor da integral dupla .

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para calcular a integral dupla sobre a região delimitada pelo eixo , e pelas retas de equações , e . Estamos trabalhando com cálculo de integrais duplas, que é uma parte da matemática focada em calcular volumes ou áreas sob superfícies.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região . Ela é delimitada pelo eixo (que é onde ), pelas retas horizontais e , e pela reta . Vamos desenhar graficamente essas linhas para visualizar melhor a área que vamos integrar.

Passo 3

Identificamos que varia de 1 a 3. Para cada valor de , varia do eixo ( ) até a reta ( ). Portanto, os limites de integração serão:

Passo 4

Agora, configuramos a integral dupla com os limites encontrados:

Passo 5

Vamos resolver a integral em relação a primeiro:

Passo 6

Agora, integramos o resultado em relação a :
Calculando os valores:
Então,

Resposta

O valor da integral dupla é .

Exercícios relacionados

Considere a região plana situada no primeiro quadrante que é limitada pela parábola de equação , pelo eixo e pelas retas de equações e . Escreva (sem calcular!) a integral dupla como integral dupla iterada nas ordens e .
Expresse como uma integral dupla iterada com a ordem de integração invertida.
Considere a integral dupla iterada
Esboce a região do plano definida pela integral .
Considere a integral dupla iterada
Escreva como integral dupla iterada na ordem
e calcule o seu valor.