Considere a região plana T delimitada pelo eixo y e pelas retas de equações y=1, y=3 e y=x. Calcule o valor da integral dupla I=integral duplaT x y^2 d A.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para calcular a integral dupla sobre a região delimitada pelo eixo , e pelas retas de equações , e . Estamos trabalhando com cálculo de integrais duplas, que é uma parte da matemática focada em calcular volumes ou áreas sob superfícies.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região . Ela é delimitada pelo eixo (que é onde ), pelas retas horizontais e , e pela reta . Vamos desenhar graficamente essas linhas para visualizar melhor a área que vamos integrar.

Passo 3

Identificamos que 1 <= y <= 3 e 0 <= x <= y varia de 1 a 3. Para cada valor de , varia do eixo ( ) até a reta ( ). Portanto, os limites de integração serão:

Passo 4

Agora, configuramos a integral dupla com os limites encontrados:
I = integraly=1^3 integralx=0^y x y^2 , dx , dy

Passo 5

Vamos resolver a integral em relação a integralx=0^y x y^2 , dx = y^2 integral0^y x , dx = y^2 [ x^22 ]0^y = y^2 ( y^22 - 0 ) = y^42 primeiro:

Passo 6

Agora, integramos o resultado em relação a I = integral1^3 y^42 , dy = 12 integral1^3 y^4 , dy = 12 [ y^55 ]1^3 = 12 ( 3^55 - 1^55 ) :
3^5 = 243 e 1^5 = 1
Calculando os valores:
I = 12 ( 2435 - 15 ) = 12 ( 2425 ) = 24210 = 24,2
Então,

Resposta

O valor da integral dupla é .

Exercícios relacionados