Considere a região plana
delimitada pelo eixo
e pelas retas de equações
e
. Calcule o valor da integral dupla
.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para calcular a integral dupla
sobre a região
delimitada pelo eixo
, e pelas retas de equações
,
e
. Estamos trabalhando com cálculo de integrais duplas, que é uma parte da matemática focada em calcular volumes ou áreas sob superfícies.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região
. Ela é delimitada pelo eixo
(que é onde
), pelas retas horizontais
e
, e pela reta
. Vamos desenhar graficamente essas linhas para visualizar melhor a área que vamos integrar.
Passo 3
Identificamos que
varia de 1 a 3. Para cada valor de
,
varia do eixo
(
) até a reta
(
). Portanto, os limites de integração serão:
Passo 4
Agora, configuramos a integral dupla com os limites encontrados:
Passo 5
Vamos resolver a integral em relação a
primeiro:
Passo 6
Agora, integramos o resultado em relação a
:
Calculando os valores:
Então,
Resposta
O valor da integral dupla é
.
Exercícios relacionados
Considere a região plana
situada no primeiro quadrante que é limitada pela parábola de equação
, pelo eixo
e pelas retas de equações
e
. Escreva (sem calcular!) a integral dupla
como integral dupla iterada nas ordens
e
.
Expresse
como uma integral dupla iterada com a ordem de integração invertida.
Considere a integral dupla iterada
Esboce a região
do plano definida pela integral
.
Considere a integral dupla iterada
Escreva
como integral dupla iterada na ordem
e calcule o seu valor.