Considere a integral dupla iterada . Escreva como integral dupla iterada na ordem e calcule o valor de .

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me deu uma integral dupla iterada: . Nosso objetivo é reescrever essa integral trocando a ordem de integração para e depois calcular o valor de . Vamos precisar usar cálculo de integrais múltiplas e entender como mudar a ordem de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região de integração. Na integral original, varia de 0 a 1 e, para cada , varia de até 1. Isso descreve uma região triangular no plano .

Passo 3

Agora, para trocar a ordem de integração, precisamos expressar em termos de . Observando a região, para um dado , varia de 0 até . Então, a nova ordem de integração será primeiro e depois .

Passo 4

Reescrevendo a integral com a nova ordem, temos:
Note que agora varia de 0 a 1 e, para cada , varia de 0 a .

Passo 5

Vamos resolver a integral interna em relação a :
Aqui, é uma constante em relação a , então a integral de de 0 a é apenas .

Passo 6

Agora, substituímos de volta na integral externa:
Essa integral pode ser resolvida usando uma substituição simples.

Passo 7

Vamos fazer a substituição , então . Isso simplifica a integral para:

Passo 8

Integrando em relação a , temos:

Resposta

O valor de é .

Exercícios relacionados

Resolva os limites abaixo:
Prove por indução matemática que se , então .
Considere o sólido
limitado por baixo pelo plano ;
limitado por cima pelo cone
e limitado lateralmente pelo cilindro .
(b) Escreva o volume do sólido como uma integral dupla em coordenadas polares
Use o método dos coeficientes indeterminados para encontrar uma solução particular para as equações diferenciais abaixo: