Considere a integral dupla iterada . Escreva como integral dupla iterada na ordem e calcule o valor de .
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me deu uma integral dupla iterada: . Nosso objetivo é reescrever essa integral trocando a ordem de integração para e depois calcular o valor de . Vamos precisar usar cálculo de integrais múltiplas e entender como mudar a ordem de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região de integração. Na integral original, varia de 0 a 1 e, para cada , varia de até 1. Isso descreve uma região triangular no plano .
Passo 3
Agora, para trocar a ordem de integração, precisamos expressar em termos de . Observando a região, para um dado , varia de 0 até . Então, a nova ordem de integração será primeiro e depois .
Passo 4
Reescrevendo a integral com a nova ordem, temos:
Note que agora varia de 0 a 1 e, para cada , varia de 0 a .
Passo 5
Vamos resolver a integral interna em relação a :
Aqui, é uma constante em relação a , então a integral de de 0 a é apenas .
Passo 6
Agora, substituímos de volta na integral externa:
Essa integral pode ser resolvida usando uma substituição simples.
Passo 7
Vamos fazer a substituição , então . Isso simplifica a integral para: