Considere a integral dupla iterada I=integral0^1 integralx^1 2 e^y^2 d y d x. Escreva I como integral dupla iterada na ordem d x d y e calcule o valor de I.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me deu uma integral dupla iterada: . Nosso objetivo é reescrever essa integral trocando a ordem de integração para e depois calcular o valor de . Vamos precisar usar cálculo de integrais múltiplas e entender como mudar a ordem de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região de integração. Na integral original, varia de 0 a 1 e, para cada , varia de até 1. Isso descreve uma região triangular no plano .

Passo 3

Agora, para trocar a ordem de integração, precisamos expressar em termos de . Observando a região, para um dado , varia de 0 até . Então, a nova ordem de integração será primeiro e depois .

Passo 4

Reescrevendo a integral com a nova ordem, temos:
I = integral0^1 integral0^y 2 e^y^2 , dx , dy
Note que agora varia de 0 a 1 e, para cada , varia de 0 a .

Passo 5

Vamos resolver a integral interna em relação a integral0^y 2 e^y^2 , dx = 2 e^y^2 integral0^y dx = 2 e^y^2 cdot y :
Aqui, é uma constante em relação a , então a integral de de 0 a é apenas .

Passo 6

Agora, substituímos de volta na integral externa:
I = integral0^1 2 y e^y^2 , dy
Essa integral pode ser resolvida usando uma substituição simples.

Passo 7

Vamos fazer a substituição I = integral0^1 e^u , du , então . Isso simplifica a integral para:

Passo 8

Integrando I = e^u |0^1 = e^1 - e^0 = e - 1 em relação a , temos:

Resposta

O valor de é .

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