Considere o sólido
limitado por baixo pelo plano ;
limitado por cima pelo cone
e limitado lateralmente pelo cilindro .
(b) Escreva o volume do sólido como uma integral dupla em coordenadas polares

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente calcular o volume de um sólido que é limitado por três superfícies:
  • De baixo pelo plano ,
  • De cima pelo cone ,
  • E lateralmente pelo cilindro .
Vamos usar coordenadas polares para facilitar a integração, já que temos simetria circular por causa do cilindro e do cone. Precisaremos lembrar que em coordenadas polares, e , e o elemento de área .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o limite lateral dado pelo cilindro . Em coordenadas polares, substituímos e :
Desenvolvendo:
Como , temos:
Ignorando , pois representa apenas a origem, temos:
Isso nos dá o limite de em função de .

Passo 3

Agora, vamos determinar os limites de . O cilindro é um cilindro de raio 1 centrado em . Em coordenadas polares, isso significa que varia de 0 a , mas precisamos saber para quais valores de isso faz sentido.
Como e , isso acontece quando , ou seja, para .

Passo 4

O limite superior do sólido é dado pelo cone . Em coordenadas polares, isso fica:
E o limite inferior é . Portanto, a altura varia de 0 a .

Passo 5

Agora, podemos montar a integral dupla para o volume. Em coordenadas polares, o volume é:
Substituindo e :

Resposta

O volume do sólido como uma integral dupla em coordenadas polares é:

Exercícios relacionados

Considere a integral dupla iterada . Escreva como integral dupla iterada na ordem e calcule o valor de .
Resolva os limites abaixo:
Use o método dos coeficientes indeterminados para encontrar uma solução particular para as equações diferenciais abaixo:
Resolva o problema de valor inicial
para uma função arbitrária.