Considere o sólido
limitado por baixo pelo plano
;
limitado por cima pelo cone
e limitado lateralmente pelo cilindro
.
(b) Escreva o volume do sólido como uma integral dupla em coordenadas polares
limitado por baixo pelo plano
limitado por cima pelo cone
e limitado lateralmente pelo cilindro
(b) Escreva o volume do sólido como uma integral dupla em coordenadas polares
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente calcular o volume de um sólido que é limitado por três superfícies:
- De baixo pelo plano
, - De cima pelo cone
, - E lateralmente pelo cilindro
.
Vamos usar coordenadas polares para facilitar a integração, já que temos simetria circular por causa do cilindro e do cone. Precisaremos lembrar que em coordenadas polares,
e
, e o elemento de área
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o limite lateral dado pelo cilindro
. Em coordenadas polares, substituímos
e
:
Desenvolvendo:
Como
, temos:
Ignorando
, pois representa apenas a origem, temos:
Isso nos dá o limite de
em função de
.
Passo 3
Agora, vamos determinar os limites de
. O cilindro
é um cilindro de raio 1 centrado em
. Em coordenadas polares, isso significa que
varia de 0 a
, mas precisamos saber para quais valores de
isso faz sentido.
Como
e
, isso acontece quando
, ou seja, para
.
Passo 4
O limite superior do sólido é dado pelo cone
. Em coordenadas polares, isso fica:
E o limite inferior é
. Portanto, a altura
varia de 0 a
.
Passo 5
Agora, podemos montar a integral dupla para o volume. Em coordenadas polares, o volume
é:
Substituindo
e
:
Resposta
O volume do sólido como uma integral dupla em coordenadas polares é:
Exercícios relacionados
Considere a integral dupla iterada
. Escreva
como integral dupla iterada na ordem
e calcule o valor de
.
Resolva os limites abaixo:
Use o método dos coeficientes indeterminados para encontrar uma solução particular para as equações diferenciais abaixo:
Resolva o problema de valor inicial
para uma função
arbitrária.